Vibraciones forzadas

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Oscilaciones forzadas : oscilaciones que se producen bajo la influencia de fuerzas periódicas externas.

Las autooscilaciones se diferencian de las oscilaciones forzadas en que estas últimas son causadas por una acción externa periódica y ocurren a la frecuencia de esta acción, mientras que la ocurrencia de autooscilaciones y su frecuencia están determinadas por las propiedades internas del propio sistema autooscilante. .

El ejemplo más simple y significativo de oscilaciones forzadas puede obtenerse considerando un oscilador armónico y una fuerza impulsora que cambia según la ley: . $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$

Oscilaciones forzadas de un oscilador armónico

El oscilador armónico conservador

La segunda ley de Newton para tal oscilador se escribirá en la forma: . Si introducimos la notación: y reemplazamos la aceleración por la segunda derivada de la coordenada con respecto al tiempo, obtenemos la siguiente ecuación diferencial ordinaria : $ma = -kx + F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $\omega_0^2=\frac km, \quad \Phi_0=\frac{F_0}{m}$

\ddot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos (\Omega t)

La solución de esta ecuación será la suma de la solución general de la ecuación homogénea y la solución particular de la no homogénea. La solución general de la ecuación homogénea ya se ha obtenido aquí y tiene la forma:

x(t) = A \sin\left(\omega_0 t + \varphi\right)

donde son constantes arbitrarias, que se determinan a partir de las condiciones iniciales. ${\ estilo de visualización A, \ varphi}$

Busquemos una solución particular. Para hacer esto, sustituimos una solución de la forma: en la ecuación y obtenemos el valor de la constante: $x(t)=B \cos \left(\Omega t \right)$

B = \frac{\Phi_0}{\omega_0^2 - \Omega^2}

Entonces la solución final se escribirá como:

x(t)=A\sin \left(\omega _{0}t+\varphi \right)+{\frac {\Phi _{0}){\omega _{0}^{2}- \Omega ^{2}}}\cos \left(\Omega t\right)

resonancia

De la solución se puede ver que cuando la frecuencia de la fuerza motriz es igual a la frecuencia de las oscilaciones libres, no es adecuado: se produce resonancia , es decir, un aumento lineal "ilimitado" de amplitud con el tiempo. Del curso del análisis matemático se sabe que la solución en este caso debe buscarse en la forma: . Sustituyendo este ansatz en la ecuación diferencial , obtenemos que $x(t)=t \left(A \cos \left(\Omega t \right) + B \sin \left(\Omega t \right)\right)$

A = 0 \qquad B = \frac{\Phi_0}{2\Omega}

Así, las oscilaciones en resonancia estarán descritas por la siguiente relación:

x(t) = \frac{\Phi_0}{2\Omega} t \sin \left(\Omega t \right)

Oscilador armónico amortiguado

Segunda ley de Newton:

ma = -kx - \alpha v + F_0 \cos\left(\Omega t\right)

Redesignaciones:

\omega_0^2=\frac km, \qquad \Phi_0=\frac{F_0}{m}, \qquad \zeta = \frac {\alpha}{2\sqrt{km}}

Ecuación diferencial:

{\ddot {x}}+2\zeta \omega_{0}{\dot {x}}+\omega_{0}^{2}x=\Phi_{0}\cos \left (\Omega t\derecha)

Su solución se construirá como la suma de las soluciones de una ecuación homogénea y una solución particular de una no homogénea . Aquí se da un análisis de la ecuación homogénea . Obtenemos y analizamos una solución particular.

Escribimos la fuerza impulsora de la siguiente manera: , luego buscaremos la solución en la forma: , donde . Sustituye esta solución en la ecuación y encuentra una expresión para : $\Phi_0 \cos \Omega t = \Phi_0 Re\, e^{-i\Omega t}$ ${\displaystyle x(t)=Ae^{-i\Omega t))$ $A\en \mathbb {C}$ $A$

A={\frac {\Phi _{0}}{\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}-2i\zeta \Omega }}={\frac {\Phi _ {0}\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}+2i\zeta \Omega \right)}{\left(\omega_{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+4\zeta ^{2}\Omega ^{2}}}=|A|e^{-i\varphi }

dónde $|A|={\frac {\Phi _{0}}{\sqrt {\left(\omega _{0}^{2}-\Omega ^{2}\right)^{2}+ 4\zeta ^{2}\Omega ^{2)))),\qquad \varphi =-\arctan {\frac {2\zeta \Omega }{\omega _{0}^{2}-\Omega ^ {2}}}$

La solución completa se parece a:

x (t) = e^{- \zeta \omega_0 t} (c_1 \cos( \omega_\mathrm{d} t) + c_2 \sin( \omega_\mathrm{d} t )) + Re\left[\ frac{\Phi_0\left(\omega_0^2-\Omega^2 + 2i\zeta\Omega\omega_0\right)}{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta ^2\Omega^2\omega_0^2} e^{-i\Omega t}\right]

donde es la frecuencia natural de las oscilaciones amortiguadas. $\omega_\mathrm{d}=\omega_0 \sqrt{1- \zeta^2 }$

Las constantes y en cada uno de los casos se determinan a partir de las condiciones iniciales: $c_1$ $c_2$ $\left\{\begin{matriz}{ccc}x(0) &=& x_0 \\ \dot{x}(0) &=& v_0 \end{matriz}\right.$

En este caso, a diferencia de un oscilador sin fricción, la amplitud de oscilación en resonancia tiene un valor finito.

Si consideramos un proceso estable, es decir, una situación con , entonces la solución de la ecuación homogénea tenderá a cero y solo quedará una solución particular: $t\, \a\, \infty$

x(t \to \infty)=\Phi_0 \frac{\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)\cos{\Omega t}+2\zeta\Omega\sin{\Omega t)) {\left(\omega_0^2-\Omega^2\right)^2+4\zeta^2\Omega^2} = \frac{\Phi_0}{\sqrt{(\omega_0^2 - \Omega^2 )^2 + 4 \zeta^2\omega_0^2 \Omega^2 }} \cos (\Omega t - \varphi)

Esto significa que en , el sistema "olvida" las condiciones iniciales y la naturaleza de las oscilaciones depende únicamente de la fuerza impulsora. $t\, \a\, \infty$

El trabajo realizado por la fuerza impulsora en el tiempo es , y la potencia es . De la ecuación $F(t) = F_0 \cos\left(\Omega t\right)$ $dt\$ $F dx\$ $P = F \frac{dx}{dt}$

\ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x = \Phi_0 \cos\left(\Omega t\right)

sigue que

P(t) = F \dot x = ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x )m \dot x

Si tenemos en cuenta que con oscilaciones forzadas constantes

x\, = A\, \cos ( \Omega t - \varphi )

\dot x = - A \Omega \sin ( \Omega t - \varphi )

\ddot x = - A \Omega ^2 \cos ( \Omega t - \varphi )

entonces la potencia promedio durante el período es: $T = \frac{2 \pi }{ \Omega }$

P = \frac{m}{T} \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^ 2

trabajo del periodo

W = m \int_0^T ( \ddot x + 2\zeta\omega_0 \dot x + \omega_0^2 x ) \dot x dt = A^2 m \zeta\omega_0 \Omega ^2 T =2\pi A ^2 m \zeta\omega_0 \Omega

Literatura

Butikov E. I. Oscilaciones naturales de un oscilador lineal. Guía de estudio . Archivado desde el original el 11 de marzo de 2012. (indefinido)
Rabinovich M.I., Trubetskov D.I. Introducción a la teoría de oscilaciones y ondas.