Símbolo Levi-Civita

El símbolo de Levi-Civita es un símbolo matemático utilizado en el análisis de tensores . Nombrado en honor al matemático italiano Tullio Levi-Civita . designado _ Aquí hay un símbolo para un espacio tridimensional, para otras dimensiones, el número de índices cambia (ver más abajo). $\varepsilon_{ijk}$

Otros nombres:

tensor unitario absolutamente antisimétrico ,
el tensor unitario totalmente antisimétrico ,
objeto absolutamente asimétrico ,
el tensor Levi-Civita (el símbolo Levi-Civita es una notación componente de este tensor),
símbolo de Kronecker asimétrico (este término fue utilizado en el libro de texto sobre cálculo tensorial de Akivis y Goldberg).

Definición

En un espacio tridimensional, en base ortonormal recta ( o en general en base recta con un determinante unitario de la métrica), el símbolo de Levi-Civita se define de la siguiente manera:

\varepsilon _{ijk}={\begin{casos}+1,&P(i,j,k)=+1,\\-1,&P(i,j,k)=-1,\\ 0,&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{casos}}}

es decir, para una permutación par de índices i , j , k es igual a 1 (para triples (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)), para una impar permutación es igual a −1 (para tripletes (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 1, 3)), y en otros casos es igual a cero (en presencia de repetidos índices). Para los componentes de la base de la izquierda, se toman números opuestos. $\varepsilon_{ijk}$

Para el caso general (coordenadas oblicuas arbitrarias con vectores de base diestros), esta definición generalmente se cambia a

\varepsilon _{ijk}={\begin{casos}+{\sqrt {g)),&P(i,j,k)=+1,\\-{\sqrt {g)),&P( i,j,k)=-1,\\0&i=j\bigvee j=k\bigvee k=i,\end{casos}}

donde es el determinante de la matriz del tensor métrico , que es el cuadrado del volumen del paralelepípedo generado por la base. Para los componentes de la base de la izquierda, se toman números opuestos. $gramo$ $g_{ij}$ $\varepsilon_{ijk}$

Tal conjunto de componentes es un tensor (verdadero) . Si, como se hace a veces en la literatura, las fórmulas anteriores se utilizan como una definición para cualquier sistema de coordenadas, tanto derecho como izquierdo, entonces el conjunto resultante de números representará un pseudotensor . En este caso, será lo mismo, pero con un reemplazo para $\varepsilon_{ijk}$ $\varepsilon_{ijk}$ ${\displaystyle \varepsilon^{ijk))$ ${\ sqrt {g))$ ${\ estilo de visualización 1/{\ sqrt {g}).}$

$\varepsilon_{ijk}$ también se puede definir como el producto mixto de los vectores base en los que se aplica el símbolo:

\varepsilon _{ijk}=[{\vec {e}}_{i}{\vec {e}}_{j}{\vec {e}}_{k}].

Esta definición es para cualquier base derecha o izquierda, ya que la diferencia de signos para las bases izquierda y derecha está en el producto mixto. El valor absoluto de cada componente distinto de cero es igual al volumen del paralelepípedo atravesado por la base . El tensor, como era de esperar, es antisimétrico con respecto a cualquier par de índices. La definición es equivalente a la anterior. $\{{\vec{e_{i))}\}$

A veces usan una definición alternativa del símbolo de Levi-Civita sin un multiplicador en ninguna base (es decir, tal que todos sus componentes sean siempre iguales a ±1 o 0, como en la definición anterior para las bases ortonormales). En este caso, no es en sí mismo una representación de un tensor. Multiplicado por el objeto (coincidiendo con en la definición anterior y siendo un tensor) en este caso se denota con una letra diferente y suele llamarse elemento de volumen . Estamos siguiendo la definición de Levi-Civita aquí. (Esta observación es válida no solo para el espacio tridimensional, sino también para cualquier dimensión). ${\ sqrt {g))$ ${\ sqrt {g))$ $\varepsilon_{ijk}$

Sentido geométrico

Como ya se puede ver de la definición a través del producto mixto, el símbolo de Levi-Civita está asociado con un volumen orientado y un área orientada, representada como un vector.

En el espacio tridimensional (euclidiano), el producto mixto de tres vectores

{\displaystyle V=\varepsilon_{ijk}a^{i}b^{j}c^{k))

es un volumen orientado ( un pseudoescalar cuyo módulo es igual al volumen, y el signo depende de la orientación del triple de vectores) del paralelepípedo atravesado por tres vectores , y . ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$ ${\ vec {c}}$

Producto vectorial de dos vectores

S_{i}=\varepsilon_{{ijk}}a^{j}b^{k}

es el área orientada de un paralelogramo cuyos lados son vectores y , representada por un pseudovector cuya longitud es igual al área y cuya dirección es ortogonal al plano del paralelogramo. ${\ vec {a}}$ ${\ vec {b}}$

Este significado se conserva para cualquier dimensión espacial n , si, por supuesto, lo tomamos con el número adecuado de índices, por volumen entendemos el volumen n -dimensional, y por el área - ( n − 1) -dimensional (hiper- ) área. En este caso, naturalmente, la fórmula correspondiente incluye n y ( n − 1) vectores — factores. Por ejemplo, para un espacio de 4 dimensiones (euclidiano): $\varepsilon$

V=\varepsilon_{{ijkm}}a^{i}b^{j}c^{k}d^{m},

S_{i}=\varepsilon _{{ijkm}}a^{j}b^{k}c^{m}.

Propiedades

El determinante de una matriz A de 3 × 3 se puede escribir (aquí nos referimos al estándar y, por lo tanto, a la base ortonormal ) como ${\begin{vmatriz}a_{1}&a_{2}&a_{3}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}\\c_{1}&c_{2}&c_{3}\ \\end{vmatriz}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a_{i}b_{j}c_{k}.$
El producto vectorial de dos vectores espaciales se escribe mediante este símbolo: ${\vec {a}}\times {\vec {b}}=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}{\vec {e}}^ {i}a^{j}b^{k}={\vec{c}}$ , donde son sus componentes y son vectores base. $c_{i}=\sum_{{j,k=1}}^{3}\varepsilon_{{ijk}}a^{j}b^{k}$ ${\vec{e}}^{i}$
Producto mixto de vectores también: $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}]=\sum _{i,j,k=1}^{3}\varepsilon _{ijk}a ^{i}b^{j}c^{k}.$
En la siguiente fórmula denota el símbolo de Kronecker : $\delta$ $\varepsilon _{{ijk}}\varepsilon ^{{lmn}}={\begin{vmatrix}\delta _{i}^{l}&\delta _{i}^{m}&\delta _{i }^{n}\\\delta _{j}^{l}&\delta _{j}^{m}&\delta _{j}^{n}\\\delta _{k}^{l }&\delta _{k}^{m}&\delta _{k}^{n}\\\end{vmatriz}}.$
Sumando sobre un índice común da $\sum_{i=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{imn}=\delta_{jm}\delta_{kn}-\delta_{jn}\delta _ {km}.$
En el caso de dos índices compartidos , el tensor colapsa así: $yo, j$ $\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{ijn}=2\delta_{kn}.$

(En todas partes aquí, en el caso de una base ortonormal, todos los índices pueden simplemente reescribirse como índices más bajos).

Generalización al caso de n dimensiones

El símbolo de Levi-Civita se puede generalizar fácilmente a cualquier número de dimensiones mayor que uno, utilizando la definición en términos de paridad de permutaciones de índice :

$\varepsilon _{ijkl\dots }=\left\{{\begin{matriz}\!\\\!\\\!\end{matriz}}\right.$	$+{\raíz cuadrada{g}),$ si hay una permutación par del conjunto ${\ estilo de visualización (i, j, k, l, \ puntos)}$ ${\ estilo de visualización (1, 2, 3, 4, \ puntos);}$
	$-{\raíz cuadrada{g}),$ si hay una permutación impar del conjunto ${\ estilo de visualización (i, j, k, l, \ puntos)}$ ${\ estilo de visualización (1, 2, 3, 4, \ puntos);}$
	${\ estilo de visualización 0}$ si al menos dos índices son iguales.

Es decir, es igual al signo (signum) de la permutación , multiplicado por la raíz del determinante de la métrica en el caso de que los índices tomen valores que implementen la permutación del conjunto , y en otros casos, cero . (Como puede ver, el número de índices es igual a la dimensión del espacio ). ${\sqrt {g}}={\sqrt {\det {\{g_{ij}\))))$ ${\ estilo de visualización (1, 2, 3, \ puntos, n)}$ $norte$

En espacios pseudo-euclidianos , si la firma de la métrica es tal que , se suele tomar en lugar de ella para hacerla real. ${\ estilo de visualización g <0}$ ${\ estilo de visualización -g}$ ${\ sqrt {g))$
En todas las dimensiones donde se define el símbolo de Levi-Civita, representa un tensor (lo que significa principalmente que uno debe asegurarse de que el número de índices del símbolo coincida con la dimensión del espacio). Además, como puede verse en lo anterior, puede haber algunas dificultades con la definición habitual del símbolo de Levi-Civita en espacios donde el tensor métrico no está definido, o, digamos, o . ${\ estilo de visualización \ det {\ {g_ {ij} \}} = 0}$ ${\ estilo de visualización \ det {\ {g ^ {ij} \}} = 0}$

Se puede demostrar que las medidas tienen propiedades similares a las tridimensionales: $norte$

$\sum _{i,j,k,\dots =1}^{n}\varepsilon _{ijk\dots }\varepsilon ^{ijk\dots }=n!$

- lo cual se debe a que hay permutaciones del conjunto , y por tanto, hay el mismo número de componentes distintas de cero con índices.

¡norte!

{\ estilo de visualización (1, 2, 3, \ puntos, n)}

\varepsilon

norte

$\varepsilon _{ijk\dots}\varepsilon ^{pqr\dots}={\begin{vmatrix}\delta_{i}^{p}&\delta_{i}^{q}&\delta _{i}^{r}&\puntos \\\delta_{j}^{p}&\delta_{j}^{q}&\delta_{j}^{r}&\puntos \\ \delta _{k}^{p}&\delta _{k}^{q}&\delta _{k}^{r}&\puntos \\\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos \\ \end{vmatriz}}.$

Luego de expandir el determinante, aparece un multiplicador y se realizan simplificaciones en los símbolos de Kronecker correspondientes.

¡norte!

Producto pseudo-escalar de dos vectores en un espacio bidimensional: ${\vec {a}}\vee {\vec {b}}=\sum_{i,j=1}^{2}\varepsilon_{ij}a^{i}b^{j} .$

El determinante de la matriz de tamaño se puede escribir convenientemente usando el símbolo de Levi-Civita -dimensional $A$ $n\veces n$ $norte$ $\det {A}=\sum_{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon_{ijk\ldots}A_{1i}A_{2j}A_{3k}\cdots =\sum_{i_{1},i_{2},i_{3},\ldots,i_{n}=1}^{n}\varepsilon_{i_{1}i_{2}i_{3} \cdots i_{n}}A_{1i_{1}}A_{2i_{2}}A_{3i_{3}}\cdots A_{ni_{n}},$

que es, de hecho, solo la definición del determinante (uno de los más comunes) reescrito usando este símbolo. Aquí se supone que la base es estándar, y los componentes distintos de cero aquí toman los valores .

{\ estilo de visualización \ varepsilon _ {ijk \ ldots}}

\pm 1

Una generalización directa -dimensional del producto vectorial de piezas ( -dimensionales) vectores: $norte$ $n-1$ $norte$ ${\vec {p}}=({\vec {a}}\times {\vec {b}}\times {\vec {c}}\times \ldots }=\sum _{i,j ,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon _{ijkm\ldots }{\vec {f))^{i}a^{j}b^{k}c^{m}\ldots ,$

donde son sus componentes y son vectores base. (Aquí, por brevedad, escribimos la expresión para los componentes covariantes y la expansión en la base dual).

p_{i}=\sum_{j,k,m,\ldots =1}^{n}\varepsilon_{ijkm\ldots}a^{j}b^{k}c^{m} \ldots

{\vec{f}}^{i}

Una generalización directa -dimensional del producto mixto de vectores ( -dimensionales) de piezas : $norte$ $norte$ $norte$ $[{\vec {a}}{\vec {b}}{\vec {c}}\ldots]=\sum_{i,j,k,\ldots =1}^{n}\varepsilon _ {ijk\ldots}a^{i}b^{j}c^{k}\ldots.$

Notación no indexada (para n dimensiones)

En notación tensorial no indexada, el símbolo de Levi-Civita se reemplaza por un operador de dualidad llamado asterisco de Hodge , o simplemente el operador de asterisco:

(*\eta )_{{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{{nk))))={\frac {1}{k!}}\eta ^{{j_{1} ,\ldots,j_{k}}}\varepsilon _{{j_{1},\ldots,j_{k},i_{1},\ldots,i_{{nk}}}}

(para un tensor arbitrario, dada la regla de la suma de Einstein ). ${\ estilo de visualización \ eta,}$

Véase también

Enlaces

Hermann R. (ed.), Documentos de análisis de tensor de Ricci y Levi-Civita , (1975) Math Sci Press, Brookline (para la definición de símbolos, consulte la página 31).
Charles W. Misner, Kip S. Thorne, John Archibald Wheeler, Gravitation , (1970) W. H. Freeman, Nueva York; ISBN 0-7167-0344-0 . (Consulte el párrafo 3.5 para obtener una descripción general de la aplicación de los tensores en la relatividad general ).
Traducción al ruso: C. Mizner, K. Thorn, J. Wheeler, Gravity . - M. : Mir, 1977 (Ver el índice - Tensor Levi-Civita).
Dimitrienko Yu. I., Tensor calculus , M. : Escuela superior, 2001. - 575 p.