Función hipergeométrica

La función hipergeométrica (función gaussiana) se define dentro del círculo como la suma de la serie hipergeométrica $|z|<1$

F(a,b;c;z)=1+\sum_{{k=1}}^{\infty}\left[\prod_{{l=0}}^{{k-1}}{ (a+l)(b+l) \over (1+l)(c+l)}\right]z^{k}=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z} {1!}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\puntos ,

y at- como su continuación analítica . Es una solución a una ecuación diferencial ordinaria ordinaria (EDO) lineal de segundo orden llamada ecuación hipergeométrica. $|z|>1$

Historia

El término "serie hipergeométrica" fue utilizado por primera vez por John Wallis en 1655 en el libro Arithmetica Infinitorum . Este término se refiere a una serie, la fórmula general de cuyos términos tiene la forma [1]

{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdot \ldots \cdot (2n+1)}{2\cdot 4\cdot \ldots \cdot 2n)).

Las series hipergeométricas fueron estudiadas por Leonhard Euler , y con más detalle por Gauss [2] . En el siglo XIX, Ernst Kummer continuó el estudio y Bernhard Riemann definió la función hipergeométrica en términos de la ecuación que satisface.

Ecuación hipergeométrica

Considere la ecuación diferencial de Euler donde los parámetros a , b y c pueden ser números complejos arbitrarios. Su generalización a puntos singulares regulares arbitrarios viene dada por la ecuación diferencial de Riemann . La ecuación de Euler tiene tres puntos singulares : 0, 1 y . $z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[c-(a+b+1)z]{\frac {du}{dz}}-abu =0,$ $\infty$

Cuando el parámetro no es igual a cero y enteros negativos , la solución de la ecuación de Euler regular en cero se puede escribir mediante una serie denominada hipergeométrica: $C$ $(c\neq 0,-1,-2,\ldots)$

_ {2}F_{1}(a,b;c;z)\equiv F(a,b;c;z)=1+{\frac {ab}{c}}{\frac {z}{1 !}}+{\frac {a(a+1)b(b+1)}{c(c+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\puntos .

Esta función se llama hipergeométrica. Notación de uso frecuente ( símbolo de Pochhammer )

(p)_{n}={\frac {\Gamma (p+n)}{\Gamma (p))),

donde está la función gamma . Entonces la función hipergeométrica se puede representar como $\Gama$

F(a,b;c;z)=\sum_{{n=0}}^{\infty }{\frac {(a)_{n}(b)_{n}z^{n}} {(c)_{n}n!}}.

La notación indica que hay dos parámetros, a y b, "que van al numerador", y uno, c, "que va al denominador". En la frontera , la serie a través de la cual se define la función hipergeométrica converge absolutamente si la parte real de la suma , converge condicionalmente en , y diverge si . La segunda solución linealmente independiente de la ecuación diferencial de Euler tiene la forma ${\ Displaystyle _ {2} F_ {1} (a, b; c; z)}$ $|z|=1$ $a+bc<0$ $z\neq 1$ $0\leq a+bc<1$ $a+bc\geq 1$

\ z^{{1-c}}F(b-c+1,a-c+1;2-c;z)

Tiene un punto singular en y es válido para todos los no positivos . [3] $z=0$ $C$ $(c=0,-1,-2,\ldots)$

La representación integral de la función hipergeométrica en (fórmula de Euler) se puede escribir de la siguiente manera: ${\text{Re}}(c)>{\text{Re}}(b)>0$

F(a,b;c;z)={\Gamma (c) \over \Gamma (b)\Gamma (cb)}\int \limits _{{0}}^{{1}}t^{{ b-1}}(1-t)^{{cb-1}}(1-tz)^{{-a}}\,dt,

donde es la función gamma de Euler . Esta expresión es una función analítica de un solo valor en el plano complejo con un corte a lo largo del eje real de a y proporciona una continuación analítica a todo el plano complejo para la serie hipergeométrica que converge solo en . $\gamma (x)$ $z$ $una$ $\infty$ ${\ estilo de visualización \ izquierda | z \ derecha | <1}$

Valores privados en ${\ estilo de visualización z = 1/2}$

El segundo teorema de la suma de Gauss se expresa mediante la fórmula:

_ {2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac 12}\left(1+a+b\right);{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\ tfrac 12})\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac 12}\izquierda(1+b\derecha)))}}.

El teorema de Bailey se expresa mediante la fórmula:

_ {2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac 12}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac 12}c)\Gamma ({\tfrac 12} \left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac 12}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac 12}\left(1+ca\right)))) .

Escribiendo otras funciones en términos hipergeométricos

Una propiedad importante de la función hipergeométrica es que de ella se pueden obtener muchas funciones especiales y elementales con ciertos valores de parámetros y transformación del argumento independiente.

Ejemplos

$\left(1+x\right)^{n}=F(-n,b;b;-x)$
$x^{n}=F\izquierda(-n,b;b;1-x\derecha)$
${1 \sobre x}\ln(1+x)=F(1,1;2;-x)$

{1 \sobre x}\arcsin(x)=F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));x ^{2}\derecho)

$e^{x}=\lim_{{n\to \infty }}F\left(1,n;1;{x \over n}\right)$
$\cos x=\lim _{{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2));-{\frac {x^{2}} {4ab}}\derecho)$
$\cosh x=\lim _{{{a,\;b\to \infty }}F\left(a,b;{\frac {1}{2}};{x^{2} \over 4ab}\ Correcto)$
Integral elíptica completa de primera especie: $K(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\frac {d\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{ 2}\varphi ))))={\frac {\pi }{2))F\left({\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^ {2}\derecho)$
Integral elíptica completa de segunda especie: $E(k)=\int \limits _{{0}}^{{\pi /2}}\!{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}\,d \varphi ={\frac {\pi }{2}}F\left(-{\frac {1}{2)),{\frac {1}{2));1;k^{2}\right )$
Polinomio de Legendre : $P_{n}(x)=F(n+1,-n;1;{\frac{1-x}{2)))$
Función de Legendre asociada : $P_{{n,\;m}}(x)=(1-x^{2})^{({\frac {m}{2}}}}{\Gamma (n+m+1) \over 2^{m}\Gamma (n-m+1)\Gamma (m+1)}F\left(n+m+1,mn;m+1;{\frac {1-x}{2)) \Correcto)$
Funciones de Bessel : $J_{\nu }(x)=\lim _{a,\;b\to \infty }\left[{\frac {\left({\dfrac {x}{2}}\right)^ {\nu }}{\Gamma (\nu +1)}}F\left(a,b;\nu +1;-{\frac {x^{2}}{4ab}}\right)\right]$
Función de Kummer (Pochhammer) o función hipergeométrica degenerada $M(a,c,z)={}_{1}F_{1}(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }F(a,b;c;z/ b)$ es una solución a la ecuación hipergeométrica degenerada $z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(cz){\frac {dw}{dz}}-aw=0.$
Una función hipergeométrica degenerada con un primer argumento entero no positivo es un polinomio de Laguerre generalizado : $L_{n}^{\lambda }(x)={}_{1}F_{1}(-n,\lambda ,x).$

Identidades

$27\,(z-1)^{2}\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4} };{\tfrac {2}{3}};z\right)^{8}+18\,(z-1)\cdot {_{2}F_{1}}\left({\tfrac {1 {4)),{\tfrac {3}{4}};{\tfrac {2}{3}};z\right)^{4}-8\cdot {_{2}F_{1}} \left({\tfrac {1}{4)),{\tfrac {3}{4));{\tfrac {2}{3));z\right)^{2}=1$
Y un maravilloso caso especial de la expresión anterior: $_{2}F_{1}\left({\frac {1}{4)),{\frac {3}{4));\,{\frac {2}{3));\ ,{\frac {1}{3}}\right)={\frac {1}{\sqrt ({\sqrt ({\frac {4}{\sqrt {2-{\sqrt[{3}]{ 4}}}}}+{\raíz cuadrada[{3}]{4}}+4}}-{\raíz cuadrada{2-{\raíz cuadrada[{3}]{4}}}}-2}}}$

Notas

↑ Scott, 1981 , pág. dieciséis.
↑ Vinogradov, 1977 , pág. 1004.
↑ Bateman, Erdeyi, Vol. 1, 1973 , pág. 69-70.

Literatura

Enciclopedia Matemática / Ed. I. M. Vinogradova. - M. , 1977. - T. 1.
Bateman G., Erdeyi A. Funciones trascendentales superiores = Funciones trascendentales superiores / Per. N. Ya. Vilenkina. - Ed. 2º,. - M. : Nauka, 1973. - T. 1. - 296 p. - 14.000 copias.
Kuznetsov D. S.: Funciones especiales - M .: "Escuela Superior", 1962
Landau L. D. , Lifshits E. M. Mecánica cuántica (teoría no relativista). — Edición 4ª. — M .: Nauka , 1989. — 768 p. - (" Física Teórica ", Tomo III). - ISBN 5-02-014421-5 . - sumas matemáticas
Kazuhiko Aomoto, Michitake Kita. Teoría de Funciones Hipergeométricas / Transl. por Kenji Iohara. - Springer, 2011. - Vol. 305. - 317 pág. - (Serie Springer Monografías en Matemáticas). — ISBN 9784431539124 .
Scott JF El trabajo matemático de John Wallis, DD, FRS, (1616-1703). - American Mathematical Soc., 1981. - 240 p. — (Serie editorial de Chelsea). — ISBN 9780828403146 .

diccionarios y enciclopedias	Gran soviet (1 ed.) Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NKC : ph161655