Ecuación diferencial de Riemann

La ecuación diferencial de Riemann es una generalización de la ecuación hipergeométrica que permite obtener puntos singulares regularesen cualquier parte de la esfera de Riemann . Nombrado en honor al matemático Bernhard Riemann .

Definición

La ecuación diferencial de Riemann se define como

{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[{\frac {1-\alpha -\alpha '}{za}}+{\frac {1-\beta - \beta '}{zb}}+{\frac {1-\gamma -\gamma '}{zc}}\right]{\frac {dw}{dz}}

+\left[{\frac {\alpha \alpha '(ab)(ac)}{za))+{\frac {\beta \beta '(bc)(ba)}{zb))+{\frac { \gamma \gamma '(ca)(cb)}{zc}}\right]{\frac {w}{(za)(zb)(zc)}}=0.

Sus puntos singulares regulares serán a , b y c . Sus grados son y , y , y respectivamente. Cumplen la condición $\alfa$ $\alfa '$ $\beta$ $\ beta '$ $\gama$ $\gamma '$

\alpha +\alpha '+\beta +\beta '+\gamma +\gamma '=1.

Soluciones a la ecuación

Las soluciones a la ecuación de Riemann se escriben en términos del símbolo P de Riemann

w=P\left\{{\begin{matriz}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matriz}}\ Correcto\}

La función hipergeométrica habitual se puede escribir como

\;_{2}F_{1}(a,b;c;z)=P\left\{{\begin{matriz}0&\infty &1&\;\\0&a&0&z\\1-c&b&c-ab&\;\ end{matriz}}\right\}

Las funciones P obedecen a una serie de identidades, una de las cuales les permite generalizarse en términos de funciones hipergeométricas. Es decir, la expresión

P\left\{{\begin{matriz}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matriz}}\right\ }=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }P\left\{{ \begin{matriz}0&\infty &1&\;\\0&\alpha +\beta +\gamma &0&\;{\frac {(za)(cb)}{(zb)(ca)}}\\\alpha ' -\alpha &\alpha +\beta '+\gamma &\gamma '-\gamma &\;\end{matriz}}\right\}

nos permite escribir la solución de la ecuación en la forma

w=\left({\frac {za}{zb}}\right)^{\alpha }\left({\frac {zc}{zb}}\right)^{\gamma }\;_{2} F_{1}\left(\alpha +\beta +\gamma ,\alpha +\beta '+\gamma ;1+\alpha -\alpha ';{\frac {(za)(cb)}{(zb) (ca)}}\derecho)

Transformación de Möbius

La función P tiene una simetría simple con respecto a la transformada de Möbius , es decir, con respecto al grupo GL(2, C ) o, de manera equivalente, al mapeo conforme de la esfera de Riemann . Cuatro números complejos A , B , C y D elegidos arbitrariamente , que satisfacen la condición , determinan las relaciones $AD-BC\neq 0$

u={\frac {Az+B}{Cz+D}}\quad {\text{ and }}\quad \eta ={\frac {Aa+B}{Ca+D}}

\zeta ={\frac {Ab+B}{Cb+D}}\quad {\text{ y }}\quad \theta ={\frac {Ac+B}{Cc+D}}.

Entonces la igualdad

P\left\{{\begin{matriz}a&b&c&\;\\\alpha &\beta &\gamma &z\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\;\end{matriz}}\right\ }=P\left\{{\begin{matriz}\eta &\zeta &\theta &\;\\\alpha &\beta &\gamma &u\\\alpha '&\beta '&\gamma '&\ ;\end{matriz}}\right\}

Literatura

Milton Abramowitz e Irene A. Stegun, eds., Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas (Dover: Nueva York, 1972)
- Capítulo 15 Funciones hipergeométricas
  - Sección 15.6 Ecuación diferencial de Riemann