Función Weierstrass

La función de Weierstrass es un ejemplo de una función continua que no tiene derivada en ninguna parte ; un contraejemplo para la conjetura de Ampère .

La función de Weierstrass está dada en toda la línea real por una sola expresión analítica

w(x)=\sum _{n=0}^{\infty}b^{n}\cos(a^{n}\pi x),

donde es un número impar arbitrario que no es igual a uno y es un número positivo menor que uno. Esta serie funcional es mayorizada por la serie numérica convergente $a$ $b$

\sum _{n=0}^{\infty}b^{n},

por tanto la función es definida y continua para todo real . Sin embargo, esta función no tiene derivada, al menos para $w$ $X$

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1.

Para probar la ausencia de una derivada en un punto arbitrario , construya dos sucesiones y , convergentes al punto , y pruebe que las relaciones $x_{0}$ $\{x_{m}\}$ $\{y_{m}\}$ $x_{0}$

{\displaystyle {\frac {w(x_{m})-w(x_{0})}{x_{m}-x_{0))))

{\displaystyle {\frac {w(y_{m})-w(x_{0})}{y_{m}-x_{0))))

tienen signos diferentes al menos cuando

ab>{\tfrac {3}{2}}\pi +1

y .

a>1

Estas secuencias se pueden definir como

{\displaystyle x_{m}={\frac {\gamma _{m}-1}{a^{m))))

y_{m}={\frac {\gamma _{m}+1}{a^{m))},

donde es el entero más cercano a . $\gamma _{m}$ ${\displaystyle a^{m}x_{0))$

Ausencia de un derivado en todos los puntos en condiciones más generales

ab\geqslant 1

a>1

fue establecido por Hardy . [una]

Antecedentes históricos

En 1806, Ampère [2] intentó demostrar analíticamente que toda función "arbitraria" es diferenciable en todas partes excepto en los valores "excepcionales y aislados" del argumento. Al mismo tiempo, se tomó como obvia la posibilidad de dividir el intervalo de cambio del argumento en partes en las que la función sería monótona. Con estas reservas, la conjetura de Ampere puede considerarse como una formulación no estricta del teorema de Lebesgue [3] . En la primera mitad del siglo XIX, se hicieron intentos para probar la conjetura de Ampère para una clase más amplia, concretamente para todas las funciones continuas. En 1861, Riemann dio a sus oyentes la siguiente función como contraejemplo:

r(x)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin n^{2}x}{n^{2))},

sin embargo, el estudio de la diferenciabilidad de esta función es extremadamente difícil. Joseph Gerver demostró que esta función todavía tiene una derivada en algunos puntos racionales solo en 1970 [ 4] .

En 1872, Weierstrass propuso su propio contraejemplo, la función descrita anteriormente , y presentó una prueba rigurosa de su no diferenciabilidad [5] . Este ejemplo apareció impreso por primera vez en 1875 en el trabajo de P. Dubois-Reymond [6] . $w$

Otro ejemplo se debe a van der Waerden (1930):

v(x)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\frac {\{10^{n}x\}}{10^{n}}},

donde los corchetes significan tomar la parte fraccionaria. [7]

Notas

↑ Función no diferenciable de Hardy GH Weierstrass // Trans-Amer. Matemáticas. Soc 17 (1916), pág. 301-325. Sin embargo, Weierstrass también mencionó esta declaración en una carta a Dubois-Reymond en 1873, ver: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moscú: Nauka, 1985. pág. 229.
↑ Ampère, A. M. // École Politechnique, 6 (1806), fasc. 13
↑ Figura. F., S.-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. M.: Mir, 1979. S. 13.
↑ Gerver J. // Revista estadounidense de matemáticas, vol. 92, núm. 1 (enero de 1970), pág. 33-55 Archivado el 24 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Informe de Weierstrass, leído en la Academia de Ciencias de Prusia el 18 de julio de 1872, publicado en obras completas (Weierstrass K. Werke. Bd. 2. Berlín, 1895. Abh. 6.).
↑ Du Bois-Reymond R. // J. fur Math., 79 (1875), p. 21-37; Weierstrass fue el editor de esta revista y presentó su contraejemplo en una carta a Dubois-Reymond el 23 de noviembre de 1873, véase: Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moscú: Nauka, 1985. pág. 229.
↑ Van der Waerden B. L. // Matemáticas. Zeitschr., 32 (1930), pág. 474-475.

Literatura

Weierstrass K. Matemáticas. trabajo _ bd. 2. Berlín, 1895. Abh. 6.
Higo. F., S.-Nagy B. Conferencias sobre análisis funcional. M.: Mir, 1979.
Polubarinova-Kochina P. Ya. Karl Weierstrass. Moscú: Nauka, 1985.