La hipótesis de Singmaster

En teoría de números , la conjetura de Singmaster , llamada así por David Singmaster , establece que hay un límite superior finito en el número de números idénticos (mayores que uno) en el triángulo de Pascal . Es claro que solo uno está contenido en el triángulo de Pascal un número infinito de veces, ya que cualquier otro número x solo puede ocurrir en las primeras x + 1 filas del triángulo. Pal Erdős creía que la conjetura de Singmaster era correcta, pero asumió que sería difícil probarla.

Sea N ( a ) el número de ocurrencias del número a > 1 en el triángulo de Pascal. En notación O , la conjetura de Singmaster se escribe como

{\ estilo de visualización N (a) = O (1).}

Resultados notables

Singmaster (1971) demostró que

N(a)=O(\log a).

Abbot, Erdős y Hanson luego mejoraron la estimación. Mejor puntuación hasta la fecha

N(a)=O\left({\frac {(\log a)(\log \log \log a)}{(\log \log a)^{3))}\right)

obtenido por Daniel Kane (2007).

Abbott, Erdős y Hanson también notaron que la condición de la conjetura de Cramer sobre la distancia entre primos sucesivos implica la estimación

N(a)=O\left(\log(a)^{2/3+\varepsilon }\right)

para cualquier $\varepsilon >0$

Singmaster (1975) mostró que la ecuación diofántica

{\binom {n+1}{k+1}}={\binom{n}{k+2}}

tiene infinitas soluciones para dos variables n , k . De ello se deduce que hay infinitos casos de ocurrencias de números 6 o más veces. Las soluciones vienen dadas por las ecuaciones

n=F_{2i+2}F_{2i+3}-1,

k=F_{2i}F_{2i+3}-1,

donde F n es el n-ésimo número de Fibonacci (según el generalmente aceptado F 1 = F 2 = 1).

Ejemplos numéricos

Según los cálculos,

2 aparece una sola vez; todos los números mayores de 2 aparecen más de una vez;
3, 4, 5 aparecen 2 veces;
6 aparece 3 veces;
muchos números aparecen 4 veces.
Cada uno de los siguientes números aparece 6 veces: ${120 \elegir 1}={16 \elegir 2}={10 \elegir 3}$ ${210 \elegir 1}={21 \elegir 2}={10 \elegir 4}$ ${1540 \elegir 1}={56 \elegir 2}={22 \elegir 3}$ ${7140 \elegir 1}={120 \elegir 2}={36 \elegir 3}$ ${11628 \elegir 1}={153 \elegir 2}={19 \elegir 5}$ ${24310 \elegir 1}={221 \elegir 2}={17 \elegir 8}$
El número más pequeño que aparece 8 veces es 3003, que también es miembro de la familia infinita de números Singmaster que aparecen al menos 6 veces: ${3003 \elegir 1}={78 \elegir 2}={15 \elegir 5}={14 \elegir 6}$

El siguiente número en la familia infinita de Singmaster, y el siguiente número más pequeño conocido que aparece seis o más veces, es 61218182743304701891431482520.

Se desconoce si alguno de los números aparece más de ocho veces. Existe la conjetura de que el número máximo de ocurrencias no supera las 8, pero Singmaster cree que deberían ser 10 o 12.

No se sabe si hay números que aparecen exactamente cinco o exactamente siete veces en el triángulo de Pascal.

Véase también

Coeficiente binomial

Literatura

D. Cantante . Problemas de investigación: ¿Con qué frecuencia aparece un número entero como coeficiente binomial? // Revista Matemática Estadounidense . - 1971. - T. 78 , núm. 4 . - S. 385-386 . -doi : 10.2307/ 2316907. — .
D. Cantante . Coeficientes binomiales repetidos y números de Fibonacci // Fibonacci Quarterly. - 1975. - T. 13 , núm. 4 . - S. 295-298 .
H. L. Abbott, P. Erdős , D. Hanson. Sobre el número de veces que aparece un número entero como coeficiente binomial // American Mathematical Monthly . - 2319526. - T. 81 , núm. 3 . - S. 256-261 . -doi : 10.2307/ 2319526 .
Daniel M. Kane. Límites mejorados en el número de formas de expresar t como un coeficiente binomial // Enteros: Revista electrónica de teoría de números combinatorios. - 2007. - T. 7 . — S. #A53 .

Enlaces

secuencia A003016 en OEIS