Triangulo de pascal

El triángulo de Pascal ( triángulo aritmético ) es una tabla infinita de coeficientes binomiales que tiene forma triangular. En este triángulo, hay unidades en la parte superior y en los lados . Cada número es igual a la suma de los dos números anteriores. Las líneas del triángulo son simétricas respecto al eje vertical. El nombre de Blaise Pascal . Los números que componen el triángulo de Pascal ocurren naturalmente en álgebra , combinatoria , teoría de probabilidad , cálculo , teoría de números [1] .

Historia

La primera mención de una secuencia triangular de coeficientes binomiales llamada meru-prastaara ocurre en un comentario del matemático indio del siglo X Halayudha sobre los escritos de otro matemático, Pingala . El triángulo también es explorado por Omar Khayyam alrededor de 1100, por lo que en Irán este esquema se llama el triángulo de Khayyam. En 1303 se publicó el libro "Espejo de jaspe de los cuatro elementos" del matemático chino Zhu Shijie , en el que se representaba el triángulo de Pascal en una de las ilustraciones; se cree que fue inventado por otro matemático chino, Yang Hui (razón por la cual los chinos lo llaman el triángulo de Yang Hui).

En Italia, el triángulo de Pascal a veces se llama "triángulo de Tartaglia" porque Niccolò Tartaglia describió esta mesa cien años antes que Pascal. La portada de un libro de texto de aritmética escrito en 1529 por Peter Apian , astrónomo de la Universidad de Ingolstadt, también representa el triángulo de Pascal. Y en 1665 [2] , se publicó el libro de Blaise Pascal "Un tratado sobre el triángulo aritmético" [3] , que estaba especialmente dedicado a esta tabla y estaba por delante de sus predecesores en contenido.

Notación y propiedades

Los coeficientes binomiales a menudo se denotan o se leen como "el número de combinaciones de n elementos por k " [1] . $\binom{n}{k}$ $C_{n}^{k}$

Los números del triángulo son simétricos (iguales) sobre el eje vertical.
En la línea número n (la numeración comienza desde 0):
- los primeros y últimos números son 1;
- los números segundo y penúltimo son n ;
- el tercer número es igual al número triangular , que también es igual a la suma de los números de las líneas anteriores; $T_{n-1}={\frac{n(n-1)}{2))$
- el cuarto número es tetraédrico ;
- m -ésimo número (con numeración desde 0) es igual al coeficiente binomial . $C_{n}^{m}={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}$
La suma de los números de la diagonal ascendente a partir del primer elemento de la ( n −1) ésima fila es el n-ésimo número de Fibonacci : ${\binom {n-1}{0}}+{\binom {n-2}{1}}+{\binom {n-3}{2}}+\ldots =F_{n}.$
Si al número central de una fila con número par le restas el número contiguo de la misma fila, obtienes el número catalán .
La suma de los números en la enésima fila del triángulo de Pascal es . $2^{n}$
Todos los números en la línea n , excepto los unos, son divisibles por el número n si y solo si n es un número primo [4] (una consecuencia del teorema de Lucas ).
Si en una fila con un número impar sumamos todos los números con números de serie de la forma 3 n , 3 n + 1, 3 n + 2, entonces las dos primeras sumas serán iguales y la tercera será menos 1 .
Cada número en el triángulo es igual al número de formas de llegar a él desde la parte superior, ya sea de derecha a abajo o de izquierda a abajo.

Cotizaciones

El triángulo de Pascal es tan simple que incluso un niño de diez años puede escribirlo. Al mismo tiempo, esconde tesoros inagotables y vincula varios aspectos de las matemáticas que a primera vista no tienen nada en común entre sí. Tales propiedades inusuales nos permiten considerar el triángulo de Pascal como uno de los esquemas más elegantes de todas las matemáticas.Martín Gardner [5]

Véase también

Notas

↑ 1 2 Diccionario enciclopédico de un joven matemático, 1985 .
↑ OV Kuzmin. Triángulo y pirámide de Pascal: propiedades y generalizaciones // Revista educativa de Soros . - 2000. - T. 6 , N º 5 . - S. 101-109 . Archivado desde el original el 29 de octubre de 2013.
↑ El sorprendente triángulo del gran francés // Hard'n'Soft . - 2003. - Nº 10 . Archivado desde el original el 21 de abril de 2010.
↑ Weisstein, Triángulo de Eric W. Pascal en el sitio web Wolfram MathWorld .
↑ Martín Gardner . Capítulo 17. El encanto inagotable del triángulo de Pascal . — M .: Mir, 1974. — 456 p.

Literatura

Triángulo de Pascal // Diccionario enciclopédico de un joven matemático / Comp. A. P. Savin. - M .: Pedagogía , 1985. - S. 230 -232. — 352 págs.
Fuks D., Fuks M. Aritmética de coeficientes binomiales // Kvant . - 1970. - Nº 6 . - S. 17-25 .
Triángulo de Uspensky V. A. Pascal . — M .: Nauka, 1979. — 48 p. - ( Clases populares de matemáticas ). - 200.000 copias.

Enlaces

Weisstein, Triángulo de Eric W. Pascal (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
Construcción del triángulo de Pascal

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran chino Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	NKC : ph348268