Esfera homologa

Una esfera de homología es una variedad X n - dimensional con homología como la de una esfera n - dimensional . Eso es

H 0 ( X , Z ) = Z = H norte ( X , Z ),

H i ( X , Z ) = {0} para todos los demás i .

Ejemplos

Esfera de Poincaré
Las esferas de Brieskorn Σ( p , q , r ), es decir, la intersección de una pequeña esfera de 5 dimensiones con la solución de la ecuación x p + y q + z r = 0 en coprimos p , q y r . Son esferas homólogas. Además, Σ(1, 1, 1) es homeomorfo a la esfera estándar y Σ(2, 3, 5) a la esfera de Poincaré. Si , entonces el recubrimiento universal Σ( p , q , r ) es homeomorfo al espacio euclidiano, ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {3}}$ ${\ estilo de visualización 1/p+1/q+1/r\leq 1}$

La esfera homológica está conectada.
El grupo fundamental de la esfera homológica coincide con su conmutador. $\Gama$
deja _ Un grupo es un grupo de alguna esfera homológica n - dimensional si y solo si [1] : $n \ geqslant 5$ $\Gama$
1. $\Gama$ por supuesto dado ;
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ ;
3. $H_{2}(\Gamma )=0$ .
Un grupo es un grupo de alguna esfera homológica de 4 dimensiones si $\Gama$
1. $\Gama$ viene dada por un número igual de generadores y relaciones, y
2. $H_{1}(\Gamma )=0$ .
- Se desconoce si lo contrario es cierto [1] .
Una suma conectada de dos esferas de homología es una esfera de homología.
Según la conjetura generalizada de Poincaré , una esfera homológica simplemente conexa es homeomorfa a la esfera estándar.

Las esferas racionalmente homológicas se definen de manera similar, pero utilizando la homología con coeficientes racionales.

↑ 1 2 Michel A. Kervaire, Smooth Homology Spheres and their Fundamental Groups Transactions of the American Mathematical Society, vol. 144 (octubre de 1969), págs. 67-72