Energía gravitacional

La energía gravitacional es la energía potencial de un sistema de cuerpos ( partículas ), debido a su atracción gravitatoria mutua .

La escala generalmente aceptada es que para cualquier sistema de cuerpos ubicados a distancias finitas, la energía gravitacional es negativa, y para cuerpos infinitamente distantes, es decir, para cuerpos que no interactúan gravitacionalmente, la energía gravitacional es cero . La energía total del sistema, igual a la suma de la energía gravitacional y cinética , es constante. Para un sistema aislado, la energía gravitacional es la energía de enlace . Los sistemas con energía total positiva no pueden ser estacionarios.

La energía gravitacional juega un papel muy importante en las etapas finales de la evolución de las estrellas , durante su transformación en estrellas de neutrones y supernovas [1] .

Sistemas ligados gravitacionalmente

Un sistema acoplado gravitacionalmente es un sistema en el que la energía gravitacional es mayor que la suma de todos los otros tipos de energías (además del resto de energía ).

La Tierra, que, como cualquier cuerpo celeste, es en sí misma un sistema ligado gravitacionalmente, también forma parte de los siguientes sistemas ligados gravitacionalmente:

En mecánica clásica

Para dos cuerpos puntuales que gravitan con masas M y m , la energía gravitatoria es: $U_{g}$

\ U_{g}=-G{Mm \sobre R},

dónde:

\GRAMO

es la constante gravitacional ;

\R

es la distancia entre los centros de masa de los cuerpos.

Este resultado se obtiene a partir de la ley de gravitación de Newton , siempre que para cuerpos infinitamente distantes la energía gravitatoria sea 0. La expresión de la fuerza gravitacional es

F_{g}=G{Mm\sobre R^{2)),

dónde:

F_{g}

es la fuerza de interacción gravitatoria

Por otro lado, según la definición de energía potencial

F_{g}={\frac{dU_{g}}{dR}}.

Después:

U_{g}=const-G{Mm\sobre R}.

La constante en esta expresión se puede elegir arbitrariamente. Suele elegirse igual a cero, de modo que cuando r tiende a infinito, tiende a cero. $U_{g}$

El mismo resultado es cierto para un cuerpo pequeño ubicado cerca de la superficie de uno grande. En este caso, R puede considerarse igual a , donde es el radio del cuerpo de masa M y h es la distancia desde el centro de gravedad del cuerpo de masa m hasta la superficie del cuerpo de masa M. $h+R_{M}$ ${\ Displaystyle R_ {M}}$

En la superficie del cuerpo M tenemos:

U_{g}=-G{Mm\sobre R_{M)),

Si las dimensiones del cuerpo son mucho mayores que las dimensiones del cuerpo , entonces la fórmula de la energía gravitatoria se puede reescribir de la siguiente forma: $METRO$ $metro$

U_{g}=-G{Mm \over R_{M}+h}=-mG{\frac {M}{R_{M))}{\frac {1}{1+h/R_{ M}}}\approx -mG{\frac {M}{R_{M}}}\left(1-{\frac {h}{R_{M}}}\right)=mgh-m{\frac { GM}{R_{M}}},

donde el valor se llama aceleración de caída libre. En este caso, el término no depende de la altura del cuerpo sobre la superficie y se puede excluir de la expresión eligiendo la constante adecuada. Por lo tanto, para un cuerpo pequeño ubicado en la superficie de un cuerpo grande, la siguiente fórmula es verdadera ${\displaystyle g={\frac {GM}{R_{M}^{2))))$ ${\ Displaystyle m {\ frac {GM} {R_ {M}}}}$

U_{g}=mg.

En particular, esta fórmula se usa para calcular la energía potencial de los cuerpos ubicados cerca de la superficie de la Tierra.

La energía potencial negativa aquí se debe a que es imposible tomar como punto de referencia el centro geométrico del cuerpo (es decir, ) al mismo tiempo que se acepta la hipótesis de que el cuerpo es un punto material. En este caso, la energía potencial tenderá al infinito en el centro (se forma una singularidad). Por lo tanto, se acostumbra considerar un punto infinitamente distante como el punto de partida de la energía potencial. El signo menos simplemente dice que la energía potencial aumenta con la distancia al cuerpo. $R=0$

Sin embargo, si es necesario, la singularidad puede evitarse suponiendo que toda la masa del cuerpo más grande no está concentrada en un punto, sino que está uniformemente distribuida en una bola con radio . Resulta que en este caso la fuerza de atracción en el interior del cuerpo estará descrita por una relación lineal con respecto a (es decir, representa la fuerza de elasticidad), y en el exterior, como antes, será proporcional al inverso del cuadrado . $R_{M}$ $R$

$F_{g}=mg\cdot \left\{{\begin{matriz}{\bar {R}}&,{\bar {R}}\leq 1\\{\bar {R}}^ {-2}&,{\bar {R}}>1\end{matriz}}\right.,$

donde es la aceleración de caída libre cerca de la superficie del cuerpo más grande; es la distancia normalizada desde el centro del cuerpo más grande, mientras que corresponde al nivel de la superficie, a la posición debajo de la superficie y a la posición sobre la superficie. $gramo$ ${\bar{R}}=R/R_{M}$ ${\ estilo de visualización {\ barra {R}} = 1}$ ${\bar{R}}<1$ ${\ estilo de visualización {\ barra {R}}> 1}$

En este caso, la energía potencial, si suponemos que es igual a cero en el centro del cuerpo, se describirá como

$U_{g}=U_{s}\cdot \left\{{\begin{matriz}{\bar {R}}^{2}&,{\bar {R}}\leq 1\\3 -{\frac {2}{\bar {R}}}&,{\bar {R}}>1\end{matriz}}\right.,$

donde es la energía potencial en la superficie del cuerpo. La energía potencial en un punto en el infinito es $U_{s}={\frac {mgR_{M}}{2}}={\frac {GMm}{2R_{M}}}$

${\displaystyle U_{\infty}=3U_{s}={\frac {3GMm}{2R_{M))))$ .

Comparando la energía potencial en la superficie y en el infinito con la energía cinética, podemos determinar las velocidades características del cuerpo bajo consideración:

$v_{1}={\sqrt {gR_{M))}={\sqrt {\frac {GM}{R_{M))))$ es la velocidad mínima requerida de un cuerpo pequeño para alcanzar la superficie de un cuerpo más grande desde su centro. O la velocidad máxima de un pequeño cuerpo arrojado a un túnel vertical. Es exactamente igual a la velocidad de movimiento en una órbita circular cerca de la superficie de un cuerpo más grande ( la primera velocidad cósmica ).

$v_{2}={\sqrt {2gR_{M))}={\sqrt {\frac {2GM}{R_{M))))$ - La velocidad mínima de escape de un cuerpo pequeño al infinito desde la superficie de un cuerpo grande ( segunda velocidad cósmica ).

$v_{20}={\sqrt {3gR_{M))}={\sqrt {\frac {3GM}{R_{M))))$ - La velocidad mínima de escape de un cuerpo pequeño al infinito desde el centro de un cuerpo grande (análogo a la segunda velocidad cósmica cuando un cuerpo pequeño "dispara" desde el centro de un cuerpo grande).

Si comparamos la fuerza gravitacional con la fuerza centrífuga, entonces podemos obtener la velocidad requerida de un cuerpo pequeño para moverse en una órbita circular alrededor del centro de un cuerpo más grande

$v_{o}=v_{1}\cdot \left\{{\begin{matriz}{\bar {R}}&,{\bar {R}}\leq 1\\{\bar {R ))^{-{\frac {1}{2}}}&,{\bar {R}}>1\end{matriz}}\right.$ .

Por las características de la gravedad dentro de un cuerpo más grande, un cuerpo pequeño se mueve dentro de él como si estuviera enganchado por el extremo de un resorte imaginario, cuyo otro extremo está unido al centro del cuerpo. Si dicho cuerpo se lanza verticalmente hacia abajo desde la superficie a un túnel de vacío imaginario que pasa por el centro del planeta, entonces realizará oscilaciones armónicas con un período

$T_{g}=2\pi {\sqrt {\frac {R_{M}}{g}}}=2\pi {\sqrt {\frac {R_{M}^{3}}{GM }}}$ ,

que para la Tierra equivale a 5064 s o 1 hora, 24 minutos, 24 segundos. La velocidad máxima durante el vuelo por el centro del cuerpo es igual a la primera cósmica. La rigidez de tal resorte imaginario es igual a

${\displaystyle k_{g}={\frac {mg}{R_{M))}={\frac {GMm}{R_{M}^{3))))$ .

En relatividad general

En la teoría general de la relatividad , junto a la clásica componente negativa de la energía de enlace gravitacional, aparece una componente positiva debida a la radiación gravitacional , es decir, la energía total del sistema gravitatorio decrece con el tiempo debido a dicha radiación.

Véase también

Notas

↑ Yu. M. Shirokov , N. P. Yudin, Física nuclear. - M., Nauka, 1972. - pág. 553-557

Literatura

Tsokos, KA Física para el Diploma IB a todo color . — revisado. - Cambridge University Press , 2010. - Pág. 143. - ISBN 978-0-521-13821-5 .
MacDougal, Douglas W. Newton's Gravity: Una guía introductoria a la mecánica del universo . — ilustrado. - Springer Science & Business Media, 2012. - Pág. 10. - ISBN 978-1-4614-5444-1 .
Para ver una demostración de la negatividad de la energía gravitatoria, consulte Alan Guth , The Inflationary Universe: The Quest for a New Theory of Cosmic Origins (Random House, 1997), ISBN 0-224-04448-6 , Apéndice A—Gravitational Energy.

Enlaces

Fitzpatrick Ricardo. Energía potencial gravitacional . farside.ph.utexas.edu . La Universidad de Texas en Austin (2 de febrero de 2006). (indefinido)

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