Función de Hamilton

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Este artículo incluye una descripción del término "energía total"

Función hamiltoniana , o hamiltoniana : una función que depende de coordenadas generalizadas , impulsos y, posiblemente, tiempo , que describe la dinámica de un sistema mecánico en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica .

{\ estilo de visualización H (p, q),}

{\ estilo de visualización H (p, q, t),}

donde es el conjunto completo de impulsos generalizados que describen el sistema dado ( es el número de grados de libertad),

p=(p_{1},p_{2},...,p_{n})

norte

q=(q_{1},q_{2},...,q_{n})

es el conjunto completo de coordenadas generalizadas.

En mecánica cuántica y teoría cuántica de campos, el hamiltoniano, o el hamiltoniano , que determina la evolución temporal de un sistema, se corresponde con la función hamiltoniana de la física clásica y es su generalización, en principio bastante directa, pero en algunos casos no del todo trivial ( en principio, el hamiltoniano cuántico se puede obtener simplemente sustituyendo los operadores cuánticos de coordenadas y momentos en la función de hamilton, sin embargo, debido al hecho de que dichos operadores no siempre conmutan, puede que no sea inmediatamente obvio elegir la opción correcta de los que surjan como consecuencia).

El formalismo de la integral de trayectoria de Feynman en la mecánica cuántica y la teoría cuántica de campos también utiliza simplemente la función clásica de Hamilton.

La función de Hamilton participa de la forma hamiltoniana del principio de mínima acción (estacionaria) , de las ecuaciones canónicas de Hamilton (una de las formas posibles de la ecuación de movimiento en la mecánica clásica) y de la ecuación de Hamilton-Jacobi , siendo la base de la formulación hamiltoniana . de mecanica

Para sistemas conservativos , la función de Hamilton representa la energía total (expresada en función de coordenadas y momentos), es decir, en el sentido clásico, la suma de las energías cinética y potencial del sistema.

La función de Hamilton está relacionada con el Lagrangiano a través de la transformada de Legendre por la siguiente relación:

H={\vec {p}}\cdot {\dot {\vec {q}}}-L,

donde es el momento generalizado de la partícula, y es su velocidad generalizada. ${\ vec p}$ ${\ punto {{\ vec q))}$

Significado físico

La función de Hamilton es esencialmente una ley de dispersión local que expresa la frecuencia cuántica (frecuencia de oscilaciones de la función de onda ) en términos del vector de onda para cada punto en el espacio [1] : $\omega$ ${\matemáticas k}$ ${\matemáticas x}$

\omega =H({\mathbf k},{\mathbf x}).

Entonces, en la aproximación clásica (a altas frecuencias y el módulo del vector de onda y una dependencia relativamente lenta de ), esta ley describe claramente el movimiento del paquete de ondas a través de las ecuaciones canónicas de Hamilton , algunas de las cuales se interpretan como la fórmula de velocidad de grupo obtenido de la ley de dispersión, mientras que otros de forma bastante natural, como un cambio, en particular, una rotación, del vector de onda durante la propagación de una onda en un medio no homogéneo de cierto tipo. ${\matemáticas x}$ $({\dot q}_{i}=\parcial H/\parcial p_{i})$ $({\dot p}_{i}=-\parcial H/\parcial q_{i})$

Notas

↑ Dado que la energía y el momento son la frecuencia y el vector de onda, difieren de ellos solo por un factor constante universal, que se puede elegir para que sea la unidad en un sistema de unidades adecuado.

Literatura

Landau L. D., Lifshitz E. M. Mechanics, volumen 1. (Ed. L. P. Pitaevsky) . 4ª edición - 2007. - 224 páginas, 2000 ejemplares, ISBN 978-5-9221-0819-5