Campo cuadrático

Un campo cuadrático es un campo numérico algebraico de grado 2 sobre . Se puede probar que el mapeo define una biyección entre el conjunto de enteros libres de cuadrados y el conjunto de todos los campos cuadráticos no isomorfos por pares. Si el campo cuadrático se llama real , en caso contrario es imaginario o complejo . $\matemáticas {Q}$ $d\mapsto {\mathbb Q}({\sqrt d})$ $d>0,$

Anillo de enteros de un campo cuadrático

Para cualquier campo numérico algebraico, se puede considerar su anillo de enteros, es decir, el conjunto de elementos que son las raíces de los polinomios reducidos con coeficientes enteros. En el caso de un campo cuadrático, estas son las raíces de las ecuaciones cuadráticas dadas con coeficientes enteros; todos los números de esta forma son fáciles de describir.

Sea un entero libre de cuadrados congruente con 2 o 3 módulo 4. Entonces el anillo de enteros del campo cuadrático correspondiente (denotado ) es el conjunto de combinaciones lineales de la forma ( irracionalidades cuadráticas ), donde , con las operaciones usuales de suma y multiplicación de números complejos . En consecuencia, si , el anillo de enteros consta de números de la forma , donde . $D$ ${\mathcal {O}}_{{{\mathbf {Q}}({\sqrt {D}})))}$ $a+b{\raíz cuadrada D}$ $a,b\in {\mathbb Z}$ $D\equiv 1{\pmod {4}}$ $a+b\cdot {\tfrac {1+{\sqrt {D}}}{2}}$ $a,b\in {\mathbb Z}$

Ejemplos de anillos de enteros

Un ejemplo clásico es el anillo de enteros gaussianos correspondiente al caso . Este anillo fue descrito por primera vez por Gauss alrededor de 1800, con el fin de formular la ley de reciprocidad bicuadrática . [una] $D=-1$
El caso (dado que −3 es congruente con 1 módulo 4) corresponde a los enteros de Eisenstein . $D=-3$

Discriminante

El discriminante de un campo cuadrático es d cuando d es congruente a 1 módulo 4, y 4d en caso contrario. Por ejemplo, el discriminante del campo numérico racional gaussiano es −4. ${\mathbb Q}({\sqrt d})$

Descomposición en números primos en el anillo de los enteros

Cualquier anillo de números enteros es Dedekind , por lo tanto, para cualquiera de sus ideales , existe una única descomposición en ideales primos. Sea p un número primo , entonces para el ideal principal generado por p en ( K es un campo cuadrático arbitrario) son posibles los siguientes tres casos: ${\mathcal {O}}_{K}$

( p ) es un ideal primo. El anillo cociente por él es un campo finito de p 2 elementos:

{\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong {\mathbb F}_{{p^{2}}}

( p ) se descompone en un producto de dos ideales primos distintos.

{\mathcal {O}}_{K}/p{\mathcal {O}}_{K}\cong {\mathbb F}_{{p}}\times {\mathbb F}_{{p}}

( p ) es el cuadrado de un ideal primo. Entonces el anillo cociente por él contiene nilpotentes distintos de cero .

El tercer caso se da si y sólo si p divide el discriminante del campo D (por ejemplo, el ideal (2) es el cuadrado del ideal (1+ i ) en el anillo de enteros gaussianos). El primer y segundo caso ocurren cuando el símbolo de Kronecker es −1 y 1, respectivamente. ${\ estilo de visualización \ izquierda ({\ tfrac {D} {p}} \ derecha)}$

Notas

↑ Tonto, página 229

Literatura

Duncan Buell. Formas cuadráticas binarias : teoría clásica y computación moderna . - Springer-Verlag , 1989. - ISBN 0-387-97037-1 . Capítulo 6.
Pedro Samuel . Teoría algebraica de números (neopr.) . — Hermann/Kershaw, 1972.
en stewart; DO Alto. Teoría algebraica de números (neopr.) . - Chapman y Hall , 1979. - ISBN 0-412-13840-9 . Capítulo 3.1.
Dummit, D.S., Foote , R.M. , 2004. Álgebra abstracta, 3.ª ed.