Anillo de grupo

Un anillo de grupo es un anillo que es al mismo tiempo un módulo libre que se puede construir a partir de un anillo dado y un grupo dado . Hablando informalmente, un anillo de grupo es un módulo libre sobre un anillo cuya base está en correspondencia biyectiva con los elementos del grupo ; la multiplicación de los elementos de base se define como la multiplicación de los elementos del grupo, y la multiplicación "se extiende a lo largo de linealidad" al resto de elementos. $KG]$ $k,$ $gramo,$

El aparato de anillos de grupo es especialmente útil en la teoría de representación de grupos .

Definición

Que sea un anillo y que sea un grupo. Entonces un anillo de grupo es un conjunto de sumas formales finitas de la forma , que se suman y multiplican de la siguiente manera: $k$ $GRAMO$ $KG]$ $\alpha =\sum_{{g\in G}}a_{g}g,\quad a_{g}\in K$

si , entonces $\alpha =\sum_{{g\in G}}a_{g}g,\ \beta =\sum_{{g\in G}}b_{g}g$

\alpha +\beta =\sum _{{g\in G}}(a_{g}+b_{g})g

\alpha \cdot \beta =\sum _{{g\in G}}\left(\sum _{{xy=g, \atop x,y\in G}}a_{x}b_{y}\right )gramo

Propiedades

Si y son conmutativos, entonces es conmutativo. $k$ $GRAMO$ $KG]$
Si es un anillo con unidad, entonces es un anillo con unidad. $k$ $KG]$
La incrustación forma una base del anillo de grupo. $GRAMO$ $KG]$
Si es un subgrupo de , entonces es un subanillo del anillo . $H$ $GRAMO$ $K[H]$ $KG]$
Let es un campo , luego cada elemento se puede asociar con una transformación lineal del espacio vectorial : multiplicación por el vector base correspondiente a la izquierda. Este mapeo especifica la representación regular del grupo . $k$ $GRAMO$ $KG]$

Literatura

LICENCIADO EN DERECHO. van der Waerden. Álgebra. — M .: Nauka, 1976.
Naimark M. Teoría de las representaciones de grupos. — M .: Nauka, 1976.