Pantalla lineal

Un mapeo lineal es una generalización de una función numérica lineal (más precisamente, una función ) al caso de un conjunto más general de argumentos y valores. Las aplicaciones lineales, a diferencia de las aplicaciones no lineales , están suficientemente estudiadas, lo que permite aplicar con éxito los resultados de la teoría general, ya que sus propiedades no dependen de la naturaleza de las cantidades. $y=kx$

Un operador lineal (transformación) es un caso especial de un mapeo lineal de un espacio vectorial en sí mismo. [una]

Formal definición

Un mapeo lineal de un espacio vectorial sobre un campo en un espacio vectorial sobre el mismo campo ( un operador lineal de a ) es un mapeo $V$ $k$ $W$ $k$ $V$ $W$

{\ estilo de visualización f \ dos puntos V \ a W}

satisfaciendo la condición de linealidad [2]

f(x+y)=f(x)+f(y)

f(\alfa x)=\alfa f(x)

para todos y . ${\ estilo de visualización x, y \ en V}$ $\alfa \in K$

Si y es el mismo espacio vectorial, entonces no es solo un mapeo lineal, sino una transformación lineal . $V$ $W$ $F$

Si solo la primera propiedad es verdadera, entonces dicho mapeo se llama aditivo .

El espacio de los mapeos lineales

Si definimos las operaciones de suma y multiplicación por un escalar del campo principal como $k$

$(f+g)(x)=f(x)+g(x)\quad \forall x\in V$
$(kf)(x)=kf(x)\quad \forall x\in V,\forall k\in K$

entonces el conjunto de todas las aplicaciones lineales de a es un espacio vectorial, que generalmente se denota como $V$ $W$ ${\mathcal {L}}(V,W)$

Operadores lineales acotados. Operador norma

Si los espacios vectoriales y son espacios topológicos lineales , es decir, sobre ellos se definen topologías , respecto de las cuales las operaciones de estos espacios son continuas , entonces se puede definir el concepto de operador acotado: un operador lineal se llama acotado si toma conjuntos acotados a acotados (en particular, todos los operadores continuos son acotados). En particular, en espacios normados , un conjunto está acotado si la norma de alguno de sus elementos está acotada, por lo que en este caso se dice que un operador está acotado si existe un número N tal que . Se puede demostrar que, en el caso de espacios normados, la continuidad y la acotación de los operadores son equivalentes. La más pequeña de las constantes N que satisface la condición anterior se llama la norma del operador : $V$ $W$ ${\displaystyle \forall x\in V,\|Ax\|_{W}\leqslant N\|x\|_{V))$

$\|A\|=\sup_{{\|x\|\not =0}}{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}=\sup_{{\|x\ |=1}}{\|Hacha\|}.$

La introducción de la norma de operadores nos permite considerar el espacio de operadores lineales como un espacio lineal normado (se puede comprobar la validez de los axiomas correspondientes a la norma introducida). Si el espacio es Banach , entonces el espacio de los operadores lineales también es Banach. $W$

Operador inverso

Un operador se llama el inverso de un operador lineal si se cumple la siguiente relación: $A^{{-1}}$ $A$ $A^{{-1}}A=AA^{{-1}}=1$

El inverso de un operador lineal también es un operador lineal . Si es un operador continuo lineal que asigna un espacio de Banach (o espacio F ) a otro, entonces el operador inverso también es un operador continuo lineal. $A^{{-1}}$ $A$ $A$

Matriz de mapeo lineal

Una matriz de mapeo lineal es una matriz que expresa un mapeo lineal en alguna base . Para obtenerlo, es necesario influir en el mapeo de los vectores base y escribir las coordenadas de los vectores obtenidos (imágenes de los vectores base) en las columnas de la matriz.

La matriz de visualización es similar a las coordenadas de un vector. En este caso, la acción de mapear sobre un vector equivale a multiplicar una matriz por una columna de coordenadas de este vector en la misma base.

Elijamos una base . Sea un vector arbitrario. Entonces se puede expandir en esta base: ${\mathbf {e}}_{k}$ $\mathbf{x}$

{\mathbf {x}}=x^{k}{\mathbf {e}}_{k}

donde son las coordenadas del vector en la base elegida. $x^{k}$ $\mathbf{x}$

Aquí y más abajo, se asume la suma sobre índices tontos .

Sea un mapeo lineal arbitrario. Actuamos en ambos lados de la igualdad anterior, obtenemos $\matemáticas {A}$

{\mathbf {Ax}}=x^{k}{\mathbf {Ae}}_{k}

También desarrollamos los vectores en la base elegida, obtenemos ${\mathbf{Ae}}_{k}$

{\mathbf {Ae}}_{k}=a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}

donde es la -ésima coordenada del -ésimo vector de . $a_{k}^{j}$ $j$ $k$ ${\mathbf{Ae}}_{k}$

Sustituyendo la expansión en la fórmula anterior, obtenemos

{\mathbf {Ax}}=x^{k}a_{k}^{j}{\mathbf {e}}_{j}=(a_{k}^{j}x^{k}){\ matemáticasbf {e}}_{j}

La expresión , entre paréntesis, no es más que una fórmula para multiplicar una matriz por una columna, y así, la matriz, al ser multiplicada por una columna , da como resultado las coordenadas del vector , que surgió de la acción del operador en el vector , que se requiere obtener. $a_{k}^{j}x^{k}$ $a_{k}^{j}$ $x^{k}$ ${\mathbf {hacha}}$ $\matemáticas {A}$ $\mathbf{x}$

Comentario: Si intercambiamos un par de columnas o filas en la matriz resultante, entonces, en términos generales, obtendremos otra matriz correspondiente al mismo conjunto de elementos básicos. En otras palabras, se supone que el orden de los elementos básicos es estrictamente ordenado. ${\mathbf {e}}_{k}$

Ejemplo de transformación

Considere, como ejemplo, una matriz de 2 × 2 de la siguiente forma

{\mathbf A}={\begin{bmatriz}a&c\\b&d\end{bmatriz}}\,

se puede considerar como la matriz de transformación de un cuadrado unitario en un paralelogramo con vértices , , y . El paralelogramo que se muestra en la figura de la derecha se obtiene multiplicando la matriz A por cada vector columna y . Estos vectores corresponden a los vértices del cuadrado unitario. $(0, 0)$ $(a,b)$ ${\ estilo de visualización (a + c, b + d)}$ ${\ estilo de visualización (c, d)}$ ${\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix)),{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix))$ ${\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}$

La siguiente tabla da ejemplos de matrices 2 × 2 sobre números reales con sus correspondientes transformaciones lineales R 2 . El color azul indica la cuadrícula de coordenadas original, y el verde es la transformada. El origen de coordenadas está marcado con un punto negro. $(0, 0)$

Desplazamiento horizontal (m=1,25)	reflexión horizontal	Compresión [ término desconocido ] (r=3/2)	Homotecia (3/2)	Rotación (π/6 R = 30° )
${\begin{bmatrix}1&1.25\\0&1\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatriz}-1&0\\0&1\end{bmatriz))$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&2/3\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}3/2&0\\0&3/2\end{bmatrix}}$	${\begin{bmatrix}\cos(\pi /6^{{R)))&-\sin(\pi /6^{{R)))\\\sin(\pi /6^{{R} })&\cos(\pi /6^{{R}})\end{bmatriz}}$

Casos especiales importantes

Una forma lineal es una aplicación lineal para la cual: ${\ estilo de visualización W = K}$
$f\dos puntos V\to K$
El endomorfismo lineal es un mapeo lineal para el cual(operador): ${\ estilo de visualización V = W}$
$f\dos puntos V\to V$
El operador de identidad (identity operator) es un operadorque mapea cada elemento del espacio en sí mismo; la norma de tal operador es igual a uno (para espacios normados) $x\mapas a x$
El mapeo nulo es un operador que convierte cada elementoen el elemento nulo. $V$ $W$
Un proyector es un operador que asigna a cada unosu proyección sobre un subespacio. $X$
El mapeo conjugado a un mapeoes un mapeosobre, dado por la relación. $A\en L(V)$ $un^{*}$ $V^*$ $A^*f(x) := f(Ax)$
Un operador autoadjunto es un operador en un espacio de Hilbert que coincide con su operador adjunto. A veces, estos operadores se denominan hermitianos hipermáximos .
Un operador hermitiano (o simétrico) es un operadordefinido en un subespacio de un espacio de Hilbert tal quepara todos los paresdel dominio de definición. Para operadores definidos en todas partes, esta propiedad coincide con la autoadjunción. $A$ $(Ax,y)=(x,Ay)$ $x,y$ $A$
Un operador unitario es un operador cuyo dominio de definición y rango de valores es todo el espacio que conserva el producto escalar; en particular, el operador unitario conserva la norma de cualquier vector. El operador inverso unitario es el mismo que el operador adjunto; la norma de un operador unitario es 1; en el caso de un campo real K , el operador unitario se llama ortogonal . $(Ax,Ay)=(x,y)$ $\|Ax\|={\sqrt {(Ax,Ax)}}={\sqrt {(x,x)}}=\|x\|$ $A^{{-1}}=A^{*}$

Conceptos relacionados

El núcleo de un mapeo lineales el subconjuntoque se mapea a cero: ${\ estilo de visualización f \ dos puntos V \ a W}$ $V$ ${\mbox{Ker}}\,f=\{x\in V\mid f(x)=0\}$

El núcleo de una aplicación lineal forma un subespacio en un espacio lineal .

V

El siguiente subconjunto se llama la imagen de un mapeo lineal : $F$ $W$ ${\mbox{Im}}\,f=\{f(x)\in W\mid x\in V\}$

La imagen de un mapeo lineal forma un subespacio en un espacio lineal .

W

La imagen de un subconjunto [3] con respecto a la transformación lineal A se denomina conjunto . $M\subconjunto V$ $AM=\{Ax:x\in M\}$

Se dice que una aplicación de un producto directo de espacios lineales a un espacio lineal es bilineal si es lineal en ambos argumentos. Un mapeo de producto directo de más espacios lineales se llama multilineal si es lineal en todos sus argumentos. $f\dos puntos V\times U\to W$ $V$ $W$ $tu$ $f\dos puntos A_{1}\veces \puntos \veces A_{n}\a B$
Un operador se llama lineal no homogéneo (o afín ) si tiene la forma ${\ tilde L}$ ${\tilde L}=L+v$

donde es un operador lineal y es un vector.

L

v

deja _ Se dice que un subespacio es invariante bajo un mapeo lineal si [4] . $R: V a V$ $M\subconjunto V$ $\para todo x\en M,Ax\en M$

Criterio de invariancia. Sea un subespacio tal que se descomponga en suma directa : . Entonces es invariante bajo un mapeo lineal si y solo si , donde hay una proyección sobre el subespacio .

M\subconjunto X

X

X=M\omás N

METRO

A

P_{M}AP_{M}=AP_{M}

PM}

METRO

Factor-operadores [5] . Sea un operador lineal y sea un subespacio invariante bajo este operador. Formamos un espacio cociente por el subespacio . Entonces un operador cociente es un operador que actúa de acuerdo con la regla: , donde es una clase del espacio cociente que contiene . $R: V a V$ $METRO$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $METRO$ $un ^ +$ $V/\,{\overset {M}{\sim }}$ $\forall x^{+}\in V/\,{\overset {M}{\sim )),A^{+}x^{+}=[Ax]$ $[Hacha]$ $Hacha$
Se da un mapeo dual hacia atrás entre espacios duales .

Ejemplos

Ejemplos de operadores homogéneos lineales:

operador de diferenciación: ; $L\{x(\cdot )\}=y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$
operador de integración: ; $y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau$
operador de multiplicación por una determinada función ; $\varphi (t)\colon y(t)=\varphi (t)x(t)$
operador de integración con un "peso" dado $\varphi (t)\colon y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau ){\varphi }(\tau )\,d\tau$
operador para tomar el valor de la función en un punto específico : [6] ; $F$ $x_{0}$ $L\{f\}=f(x_{0})$
operador de multiplicación de matriz vectorial: ; $b=hacha$
operador de rotación vectorial .

Ejemplos de operadores lineales no homogéneos:

Cualquier transformación afín ;
$y(t)={\frac{dx(t)}{dt}}+\varphi(t)$ ;
$y(t)=\int \limits _{0}^{t}\!x(\tau )\,d\tau +\varphi _{1}(t)$ ;
$y(t)=\varphi _{1}(t)x(t)+\varphi _{2}(t)$ ;

donde , , son funciones bien definidas y es una función transformada por el operador. $\varfi (t)$ $\varphi _{1}(t)$ $\varphi _{2}(t)$ $x(t)$

Notas

↑ EB Vinberg. Curso de álgebra. - MTSNMO, 2013. - S. 234. - 590 p. — ISBN 978-5-4439-0209-8 , BBC 22.14.
↑ Shilov, 1961 , pág. 203.
↑ M no necesita ser un subespacio.
↑ O: . $AM\subconjunto M$
↑ También se utilizan operadores de factores ortográficos .
↑ A veces denominado $\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\!f(x){\delta }(x-x_{0})\,dx$

Véase también

Literatura

Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. — M .: Nauka, 1961. — 436 p.