La ley de la doble negación

La ley de la doble negación  es el principio que subyace en la lógica clásica , según el cual "si no es cierto que A no es cierto, entonces A es verdadero". Hay 3 formulaciones de la ley de la doble negación. En el lenguaje formalizado de la lógica proposicional, se expresan mediante fórmulas:

•  - la ley de la introducción de la doble negación ;
•  - la ley de eliminación de la doble negación ;
•  es la ley completa de la doble negación .

En la lógica intuicionista, solo se deduce la ley de introducir la doble negación, mientras que la ley de la resta no se deduce.

En las matemáticas significativas tradicionales, la ley de la doble negación sirve como base lógica para llevar a cabo las llamadas pruebas contradictorias según el siguiente esquema: del supuesto de que la proposición A de una teoría matemática dada es falsa, se deduce una contradicción en este teoría, entonces, con base en la consistencia de la teoría, se concluye que es falso “no A”, y luego, de acuerdo con la ley de eliminación de la doble negación, se concluye que A es verdadero. consideraciones, cuando está en vigor el requisito de la realizabilidad algorítmica de la justificación de los juicios matemáticos, la ley de eliminación de la doble negación resulta, en términos generales, inaceptable.

Un ejemplo típico de esto es cualquier prueba de la proposición contraria A, que tiene la forma "para todo x hay y tal que B(x, y)" es verdadera, cuando el último paso, que consiste en aplicar la ley de eliminación de doble negación, resulta imposible debido a que una comprensión constructiva de un juicio requiere, para justificarlo, la construcción de un algoritmo que, para cada x, dé una construcción y tal que B(x , y) es cierto. Mientras tanto, razonar usando la ley de eliminación de doble negación no conduce a la construcción de ningún algoritmo; además, el algoritmo buscado en este caso puede no existir en absoluto (ver también el principio de selección constructiva ).

Otra redacción

La ley de la doble negación está íntimamente relacionada con la ley del tercero excluido , así como con la llamada ley de Pierce . En cierto sentido, las tres leyes son equivalentes. Así, en el cálculo proposicional intuicionista , donde estas leyes no son tautologías , cada una de estas dos leyes es derivable de la otra, y la adición de cualquiera de ellas a la axiomática conduce inmediatamente a la lógica clásica . Sin embargo, hay lógicas en las que las tres leyes no son equivalentes [1] .

Para la lógica intuicionista, existe una forma más débil para la ley de la resta: la ley de eliminación de la triple negación :

Notas

1. ↑ Zena M. Ariola y Hugo Herbelin. Operadores de control y lógica clásica mínima. En Thirtieth International Colloquium on Automata, Languages ​​and Programming, ICALP'03, Eindhoven, Países Bajos, 30 de junio - 4 de julio de 2003, volumen 2719 de Lecture Notes in Computer Science, páginas 871-885. Springer-Verlag, 2003. [1] Archivado el 18 de julio de 2008 en Wayback Machine .