Transformada de Laplace bilateral

La transformada de Laplace de dos colas es una transformada integral estrechamente relacionada con la transformada de Fourier , la transformada de Mellin y la transformada de Laplace regular y unilateral .

Definición

Si es una función real o compleja de una variable real , entonces la transformada bilateral de Laplace viene dada por la fórmula $pie)$ $t\en \mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$

{\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty}^{\infty}e^{-st}f(t )\,dt.

Se supone que la integral en esta definición es impropia y convergente cuando hay $\left\{{\begin{matriz}\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int_{-\infty}^ {0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matriz}}\right.$

A veces, las transformaciones de dos caras se escriben en la forma

{\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _ {-\infty}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt.

En general, una variable puede ser un valor real o complejo. $t$

Relación con otras transformaciones integrales

Si es la función de Heaviside , entonces la transformada habitual de Laplace se puede expresar en términos de la fórmula de dos colas $Utah)$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.

Y viceversa: de una transformación de dos caras, puede obtener la habitual mediante la fórmula

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{ {\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).

La transformada de Mellin se puede expresar en términos de la transformada de Laplace de dos caras mediante la fórmula

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)

Y viceversa: a partir de la transformación de dos caras, puede obtener la transformación de Mellin mediante la fórmula

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).

La transformada de Fourier se puede definir en términos de la transformada de Laplace de dos caras mediante la fórmula

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).

Propiedades

Propiedades de las transformadas de Laplace

	Dominio del tiempo	Área de un solo lado	Área bilateral
Primera derivada	${\ estilo de visualización f' (t) \ }$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Segunda derivada	${\ estilo de visualización f''(t)\ }$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$

Literatura

LePage, Wilbur R. , Variables complejas y la transformada de Laplace para ingenieros , Publicaciones de Dover, 1980
van der Pol, Balthasar y Bremmer, H., Cálculo operativo basado en la integral de Laplace de dos caras , Chelsea Pub. Co., 3ra edición, 1987

Transformada de Laplace bilateral

Definición

Relación con otras transformaciones integrales

Propiedades

Literatura

Notas