Mínimos cuadrados de dos pasos

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 26 de febrero de 2022; las comprobaciones requieren 2 ediciones .

Mínimos cuadrados de dos etapas ( OLS de dos etapas, DMNK, TSLS, 2SLS - ing. Mínimos cuadrados de dos etapas ) - un método para estimar los parámetros de modelos econométricos , en particular sistemas de ecuaciones simultáneas , que consta de dos etapas (pasos) , cada uno de los cuales utiliza el método de mínimos cuadrados .

Los mínimos cuadrados de dos pasos están estrechamente relacionados con el método de las variables instrumentales . A veces se le llama método generalizado o simplemente método de variables instrumentales. Al evaluar ecuaciones simples, se utilizan variables adicionales (instrumentales) que no están directamente involucradas en el modelo. Su uso se debe a que algunos de los factores del modelo pueden no satisfacer el requisito de exogeneidad . Cuando se evalúan sistemas de ecuaciones simultáneas, las variables exógenas del sistema suelen ser las herramientas.

Esencia del método

Sea X un conjunto de factores del modelo econométrico, algunos de los cuales pueden ser endógenos y otros exógenos. Sea también dado un conjunto de variables exógenas Z para el modelo (algunas de ellas pueden participar en el modelo y otras no). El número de herramientas no debe ser inferior al número de factores iniciales del modelo.

El procedimiento OLS de dos pasos es el siguiente:

Paso 1 Los mínimos cuadrados ordinarios estiman la regresión de los factores X en los instrumentos . Las estimaciones de los parámetros para este modelo son obviamente iguales a: ${\ estilo de visualización X = ZB + U}$

${\sombrero {B}}_{OLS}=(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X$ .

Como resultado, obtenemos las siguientes estimaciones de las variables originales:

${\sombrero {X}}=Z{\sombrero {B}}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X=P_{Z}X~,~P_ {Z}=Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}$

Paso 2 En la segunda etapa, se estima el modelo inicial (también por los mínimos cuadrados habituales), reemplazando los factores del modelo con sus estimaciones obtenidas en el primer paso:

${\sombrero {b}}_{TSLS}=({\sombrero {X}}^{T}{\sombrero {X}})^{-1}{\sombrero {X}}^{T }y=(X^{T}P_{Z}^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}^{T}y$

Dado que finalmente obtenemos la fórmula para estimar los mínimos cuadrados en dos pasos: ${\displaystyle P_{Z}^{T}=P_{Z}~,~P_{Z}^{T}P_{Z}=P_{Z))$

${\sombrero {b}}_{TSLS}=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y~,~~P_{Z} =Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}$

Si la matriz de covarianza de errores aleatorios del modelo es proporcional a la unidad uno, es decir , entonces la matriz de covarianza de estas estimaciones es igual a $\sigma ^{2}yo$ $V_{{\sombrero {b}}_{TSLS}}=\sigma ^{2}(X^{T}P_{Z}X)^{-1}$

Mínimos cuadrados de dos pasos ponderados

Si en cada uno de los dos pasos no aplicamos lo habitual, sino los mínimos cuadrados ponderados con la misma matriz de peso , entonces obtenemos estimaciones de los mínimos cuadrados ponderados de dos pasos (TSLS ponderado, WTSLS ): $W$

${\hat {b}}_{WTSLS}=(X^{T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y~,~~P_{Z} =WZ(Z^{T}WZ)^{-1}WZ^{T}$

La fórmula de la matriz de covarianza es similar al TSLS habitual, teniendo en cuenta la fórmula para . $P_{Z}$

Relación con el método de variables instrumentales

El método OLS de dos pasos también se denomina Estimador de variables instrumentales generalizadas (GIVE) o simplemente método de variables instrumentales. Si el número de herramientas z es el mismo que el número de variables originales (el caso de identificación exacta ), entonces las matrices son cuadradas. Como consecuencia $Z^{T}X,~X^{T}Z$

${\sombrero {b}}_{TSLS}=(X^{T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}X)^{-1}X^{ T}Z(Z^{T}Z)^{-1}Z^{T}y=(Z^{T}X)^{-1}(Z^{T}Z)(X^{T} Z)^{-1}(X^{T}Z)(Z^{T}Z)^{-1}(Z^{T}y)=(Z^{T}X)^{-1} Z^{T}y$

Es decir, obtenemos la fórmula clásica del método de las variables instrumentales . ${\sombrero {b}}_{IV}=(Z^{T}X)^{-1}Z^{T}y$

También es necesario señalar la conexión con el método de variables instrumentales en sentido contrario, es decir, el método de mínimos cuadrados en dos pasos es un caso especial del método IP, cuando se utilizan las estimaciones de mínimos cuadrados de factores para algunas variables Z como herramientas:

${\sombrero {b}}_{IV}=({\sombrero {X}}^{T}X)^{-1}{\sombrero {X}}^{T}y=(X^ {T}P_{Z}X)^{-1}X^{T}P_{Z}y$

que coincide con la fórmula de mínimos cuadrados de dos pasos.

Mínimos cuadrados de dos pasos en sistemas de ecuaciones simultáneas

En los sistemas de ecuaciones simultáneas, se utilizan mínimos cuadrados de dos pasos para estimar los parámetros de las ecuaciones estructurales, ya que estas últimas involucran variables endógenas del modelo como factores y el uso de mínimos cuadrados ordinarios conduce a estimaciones sesgadas e inconsistentes .

Aquí, las variables exógenas del propio modelo suelen utilizarse como herramientas Z. En consecuencia, el procedimiento de estimación consiste en que en el primer paso, los mínimos cuadrados habituales estiman la regresión de las variables endógenas sobre todas las variables exógenas del sistema, y luego estas estimaciones se utilizan en el segundo paso en lugar de las variables endógenas del sistema. lado derecho de la ecuación estructural, a la que se aplican los mínimos cuadrados habituales.

Este enfoque hace posible obtener estimaciones consistentes de los parámetros de forma estructural.

Mínimos cuadrados de dos pasos

Esencia del método

Mínimos cuadrados de dos pasos ponderados

Relación con el método de variables instrumentales

Mínimos cuadrados de dos pasos en sistemas de ecuaciones simultáneas

Véase también