Dilogaritmo

El dilogaritmo es una función especial en matemáticas , que se denota y es un caso especial del polilogaritmo para . El dilogaritmo se define como ${\ estilo de visualización \ mathrm {Li} _ {2} (z)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Li} _ {n} (z)}$ $n=2$

\operatorname {Li} _{2}(z)=-\int _{0}^{z}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t=\sum_{j=1}^{\infty}{\frac {z^{j}}{j^{2}}}\;.

La definición dada del dilogaritmo es cierta para los valores complejos de la variable . Para valores reales , esta función tiene un corte a lo largo del eje real de a . Por lo general, el valor de la función en el corte se define de modo que la parte imaginaria del dilogaritmo sea negativa: $z$ ${\ estilo de visualización z = x}$ $una$ $\infty$

\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}(x)\right]=\left\{0\;\;(x\leq 1);\quad -\pi \ln {x}\;\;(x>1)\derecha\}

La función a menudo se llama dilogaritmo de Euler, en honor a Leonhard Euler , quien consideró esta función en 1768 [1] . A veces el dilogaritmo se denomina función de Spence o integral de Spence [2] en honor al matemático escocés William Spence ( William Spence , 1777-1815) [3] , quien a principios del siglo XIX estudió funciones correspondientes a y . El nombre "dilogaritmo" fue introducido por Hill ( CJ Hill ) en 1828. ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Li} _ {2} (z)}$ ${\ estilo de visualización - \ mathrm {Li} _ {2} (-z)}$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {Li} _ {2} (1-z)}$

Relaciones funcionales

Hay una serie de relaciones funcionales útiles para el dilogaritmo,

\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(-z)={\textstyle {\frac {1}{2))}\operatorname {Li} _ {2}(z^{2})

\operatorname {Li} _{2}(1-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(1-{\frac {1}{z}}\right)=-{\textstyle {\frac{1}{2}}}\ln^{2}{z}

\operatorname {Li} _{2}(z)+\operatorname {Li} _{2}(1-z)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2 }-\ln z\;\ln(1-z)

{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {z}{1+z))\right)=-{\textstyle { \frac{1}{2}}}{\ln^{2}(1+z)))

\operatorname {Li} _{2}(-z)-\operatorname {Li} _{2}(1-z)+{\textstyle {\frac {1}{2}}}\operatorname {Li } _{2}(1-z^{2})=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}-\ln z\ln(1+z)

\operatorname {Li} _{2}(-z)+\operatorname {Li} _{2}\left(-{\frac {1}{z))\right)=-{\textstyle {\ fracción {1}{6}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{z}

para valido $x>1$

\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}\left({\frac {1}{x}}\right)={\textstyle {\frac {1 {3}}}\pi ^{2}-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}{x}-{\rm {i}}\pi \ln {x }

También se conocen relaciones que contienen dos variables independientes, por ejemplo, la identidad de Hill:

\operatorname {Li} _{2}(xy)=\operatorname {Li} _{2}(x)+\operatorname {Li} _{2}(y)-\operatorname {Li} _{2} }\left({\frac {x(1-y)}{1-xy}}\right)-\nombre del operador {Li} _{2}\left({\frac {y(1-x)}{1 -xy}}\right)-\ln \left({\frac {1-x}{1-xy}}\right)\ln \left({\frac {1-y}{1-xy}}\ Correcto)

Valores privados

{\ estilo de visualización \ nombre del operador {Li} _ {2} (0) = 0}

\operatorname {Li} _{2}(1)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{2}

\operatorname {Li} _{2}(-1)=-{\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}

\operatorname {Li} _{2}({\textstyle {\frac {1}{2}}})={\textstyle {\frac {1}{12}}}\pi ^{2}- {\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln^{2}{2}

Usando la relación entre las funciones de y , obtenemos $X$ $1/x$

\operatorname {Li} _{2}(2)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\pi ^{2}-{\rm {i}}\pi \ln {2 }

También hay una serie de resultados para argumentos relacionados con la proporción áurea , $\phi ={\textstyle {\frac {1}{2}}}(1+{\sqrt {5}})$

\operatorname {Li} _{2}(-\phi )=-{\textstyle {\frac {1}{10}}}\pi ^{2}-\ln ^{2}{\phi }

\operatorname {Li} _{2}(-\phi ^{-1})=-{\textstyle {\frac {1}{15))}\pi ^{2}+{\textstyle {\ fracción {1}{2}}}\ln ^{2}{\phi }

\operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-1})={\textstyle {\frac {1}{10))}\pi ^{2}-\ln ^{2}{ \fi}

\operatorname {Li} _{2}(\phi ^{-2})={\textstyle {\frac {1}{15))}\pi ^{2}-\ln ^{2}{ \fi}

y también para el dilogaritmo del argumento imaginario,

\operatorname {Li} _{2}(\pm {\rm {i)))=-{\textstyle {\frac {1}{48))}\pi ^{2}\pm {\rm {yo G

donde es la constante catalana . $GRAMO$

Razones para valores particulares

\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname { Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}-{\ estilo de texto {\frac {1}{6}}}\ln ^{2}{3}

\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{6}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+ \ln {2}\;\ln {3}-{\textstyle {\frac {1}{2))}\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {1}{3)) }\ln^{2}{3}

{\displaystyle \operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)+{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname { Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)={\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+2\ ln {2}\;\ln {3}-2\ln ^{2}{2}-{\textstyle {\frac {2}{3))}\ln ^{2}{3))

\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\right)-{\textstyle {\frac {1}{3}}}\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{18}}}\pi ^{2}+ {\textstyle {\frac {1}{6}}}\ln^{2}{3}

\operatorname {Li} _{2}\left(-{\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle { \frac {1}{9}}}\right)=-{\textstyle {\frac {1}{2}}}\ln ^{2}\!\left({\textstyle {\frac {9}{ 8}}}\derecho)

36\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{2}}}\right)-36\operatorname {Li}_{2}\left({\textstyle {\frac {1}{4}}}\right)-12\operatorname {Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{8}}}\right)+6\operatorname { Li} _{2}\left({\textstyle {\frac {1}{64}}}\right)={\pi }^{2}

Funciones relacionadas con el dilogaritmo

función de clausura ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Cl} _ {2} (\ theta)}$

Ocurre al considerar un dilogaritmo cuyo argumento está en el círculo unitario en el plano complejo,

\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i}}\theta }\right)={\textstyle {\frac {1}{6}}}\pi ^{ 2}-{\textstyle {\frac {1}{4}}}\theta (2\pi -\theta )+{\rm {i}}\;\operatorname {Cl} _{2}(\theta ) ,\quad (0\leq \theta \leq 2\pi )

De este modo,

\operatorname {Cl} _{2}(\theta )=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm {i))\theta } \right)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i))))}\left[\operatorname {Li} _{2}\left(e^{{\rm { i}}\theta }\right)-\operatorname {Li} _{2}\left(e^{-{\rm {i}}\theta }\right)\right]

Función de Lobachevsky

Esta función se utiliza en el cálculo de volúmenes en geometría hiperbólica, y está relacionada con la función de Clausen (y por tanto con el dilogaritmo),

L(\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d))\tau \;\ln |\cos \tau |=-{\textstyle {\frac {1 {2}}}\nombre del operador {Cl} _{2}(\pi -2\theta )+\theta \ln {2}

A veces se utiliza otra definición de la función de Lobachevsky,

\Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }{\rm {d))\tau \;\ln |2\sin \tau |={\textstyle {\frac { 1}{2}}}\nombre del operador {Cl} _{2}(2\theta )

Arco tangente integral ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {Ti} _ {2} (y)}$

Ocurre al considerar el dilogaritmo del argumento imaginario,

\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)={\textstyle {\frac {1}{4}}}\operatorname {Li} _{2}(-y^ {2})+{\rm {i}}\;\nombre del operador {Ti} _{2}(y)

De este modo,

\operatorname {Ti} _{2}(y)=\operatorname {Im} \left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)\right]={\textstyle {\frac {1}{2{\rm {i}}}}}\left[\operatorname {Li} _{2}({\rm {i}}y)-\operatorname {Li} _{2} (-{\rm {i}}y)\right]

función legendre ${\ estilo de visualización {\ estilo de visualización {\ chi _ {2} (z)))}$

Esta función se expresa en términos de dilogaritmos como

\chi _{2}(z)=\sum \limits _{j=1}^{\infty }{\frac {z^{2j+1}}{(2j+1)^{2} }}={\textstyle {\frac {1}{2}}}\left[\operatorname {Li} _{2}(z)-\operatorname {Li} _{2}(-z)\right]

En particular, .

\chi _{2}({\rm {i}}y)={\rm {i}}\operatorname {Ti} _{2}(y)

Notas

↑ Leonhard Euler , Institutiones calculi integrals
↑ Antonov N. V., Vasiliev A. N. Dinámica crítica como teoría de campos // Teoría. - 1984. - T. 60. Nº 1. - S. 59-71 . Consultado el 1 de abril de 2019. Archivado desde el original el 19 de junio de 2022. (indefinido)
↑ William Spence - Biografía . Consultado el 7 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 28 de octubre de 2019. (indefinido)

Enlaces

Leonardo Lewin. Dilogaritmos y funciones asociadas. — Macdonald, Londres, 1958. MR : 0105524
Leonardo Lewin. Polilogaritmos y funciones asociadas. — Holanda Septentrional, Nueva York, Oxford, 1981.
Don Zagier , La función de dilogaritmo (PDF)
Weisstein, Eric W. Dilogarithm (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .