Difeomorfismo de Anosov

El difeomorfismo de Anosov es un difeomorfismo hiperbólico en toda la variedad , un mapeo con dinámica estable con respecto a pequeñas perturbaciones. Introducido en la teoría de los sistemas dinámicos por Dmitry Anosov . $f\dos puntos M\flecha derecha M$ $METRO$

La hiperbolicidad en una variedad significa que hay una descomposición del paquete tangente en una suma directa de dos subpaquetes continuos y , que son invariantes bajo dinámica, y la dinámica se expande y comprime exponencialmente exponencialmente: $METRO$ $TM$ ${\ estilo de visualización E ^ {u}}$ $E^{s}$ ${\ estilo de visualización E ^ {u}}$ $E^{s}$

\|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \en E^{s}

\|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \en E^{u}

donde y son constantes. $c_{1},c_{2}>0$ $\mu >1>\lambda >0$

Los difeomorfismos de Anosov son estructuralmente estables : para cualquier difeomorfismo de Anosov , existe tal vecindad en el espacio de los difeomorfismos de clase , cualquier difeomorfismo del cual se conjuga con algún homeomorfismo : . En otras palabras, la dinámica de una pequeña perturbación se diferencia de sí misma únicamente por un (continuo) cambio de coordenadas. $F$ $c ^ 1$ $gramo$ $F$ $h$ $f\circ h=h\circ g$ $F$ $F$

La parte de estiramiento de la definición se puede reescribir como compresión de tiempo inverso:

\|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\ ,v\en E^{u}

Наиболее известным примером диффеоморфизма Аносова является действие отображения на двумерное том . Более общо: если матрица не имеет собственных значений, равных по модулю единице, то спуск действия A на тор (корректно определённый, поскольку сохраняет ) будет диффеоморфизмом Аносова. $\left({\begin{pequeña matriz}2&1\\1&1\end{pequeña matriz}}\right)$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2))$ $A\en SL_{n}(\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $A$ $\mathbb{Z} ^{n}$

Literatura

V. I. Arnold . Capítulos adicionales de la teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias. — M .: Nauka, 1978.
Katok A. B. , Hasselblat B. Introducción a la teoría moderna de los sistemas dinámicos con una revisión de los logros recientes / Per. De inglés. edición A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 p. — ISBN 5-94057-063-1 .