Inclusión diferencial (matemáticas)

La inclusión diferencial es una generalización del concepto de ecuación diferencial :

{\frac {dx}{dt}}\in F(t,x),\qquad (*)

donde el lado derecho (*) es un mapeo multivaluado que asocia cada par de variables con un conjunto compacto no vacío en el espacio.Una solución de una inclusión diferencial (*) se suele llamar una función absolutamente continua que satisface una inclusión dada para casi todos los valores.Tal definición de una solución se asocia principalmente con aplicaciones de inclusiones diferenciales en la teoría de control. $t\en \mathbb {R}$ $x \in \mathbb{R}^n$ $F(t,x)$ $\mathbb{R}^n.$ $x(t),$ $t.$

El origen de la teoría de las inclusiones diferenciales generalmente se asocia con los nombres del matemático francés Marchaud y el matemático polaco Stanislaw Zaremba (obras de mediados de la década de 1930), sin embargo, el gran interés en ellos surgió solo después del descubrimiento del principio máximo de Pontryagin . y el desarrollo intensivo de la teoría del control óptimo asociado a ella. Las inclusiones diferenciales también se utilizan como herramienta para el estudio de ecuaciones diferenciales con lado derecho discontinuo ( A.F. Filippov ) y en la teoría de juegos diferenciales ( N.N. Krasovskii ).

Conexión de inclusiones diferenciales con sistemas controlados

Considere un sistema controlado

{\frac {dx}{dt}}=f(t,x,u),\quad u(t)\in U,\qquad (**)

donde hay algún subconjunto compacto. El sistema (**) se puede escribir como una inclusión diferencial (*) configurando . Bajo supuestos bastante generales, un sistema controlado (**) es equivalente a una inclusión diferencial (*), es decir para cualquier solución de inclusión (*) existe tal control admisible que la función será la trayectoria del sistema (**) con este control. Este enunciado se llama el lema de A.F. Filippov. ${\displaystyle U\subconjunto \mathbb {R} ^{m))$ ${\displaystyle F(t,x)=f(t,x,U)=\{f(t,x,u)\ :\ \forall u\in U\))$ $x(t)$ ${\ estilo de visualización u (t) \ en U,}$ $x(t)$

Conceptos relacionados

La contingencia ( derivada contingente ) y la paratingencia son generalizaciones del concepto de derivada introducido en la década de 1930.

La contingencia de una función vectorial en un punto es el conjunto de todos los puntos límite de las sucesiones $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Continuación}}\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{0})}{t_{i}-t_{0}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ cuádruple i=1,2,\ldots

La paratingencia de una función vectorial en un punto es el conjunto de todos los puntos límite de las sucesiones $x(t)$ $t_0$ ${\textrm {Parat))\ x(t_{0})$

{\frac {x(t_{i})-x(t_{j})}{t_{i}-t_{j}}},\quad t_{i}\to t_{0},\ quad t_{j}\to t_{0},\quad i,j=1,2,\ldots

La contingencia y la paratingencia son ejemplos de mapeos multivaluados . Por ejemplo, para una función en un punto, el conjunto consta de dos puntos: y el conjunto es un segmento ${\ estilo de visualización x (t) = | t |}$ ${\ estilo de visualización t_ {0} = 0}$ ${\textrm {Continuación}}\ x(0)$ $\pm1,$ ${\textrm {Parat))\ x(0)$ ${\ estilo de visualización [-1, +1].}$

En general, siempre . Si hay una derivada ordinaria, entonces y si la derivada ordinaria existe en alguna vecindad del punto y es continua en este mismo punto, entonces . ${\textrm {Cont}}\subset {\textrm {Parat}}$ ${\ estilo de visualización x'(t_{0}),}$ ${\textrm {Continuación}}\ x(t_{0})=x'(t_{0}),$ ${\ estilo de visualización x' (t)}$ $t_0$ ${\textrm {Cont}}\ x(t_{0})={\textrm {Parat}}\ x(t_{0})=x'(t_{0})$

Literatura

Borisovich Yu. G., Gelman B. D., Myshkis A. D. , Obukhovskiy V. V. Introducción a la teoría de aplicaciones multivaluadas e inclusiones diferenciales, — Cualquier edición.
Blagodatskikh V. I. Introducción al Control Óptimo, Escuela Superior, Moscú, 2001.
Blagodatskikh V. I., Filippov A. F. Inclusiones diferenciales y control óptimo , — Tr. MIAN, volumen 169 (1985).
Ioffe A. D., Tikhomirov V. M. Teoría de problemas extremos, Fizmatlit, Moscú, 1974.
A. F. Filippov . Sobre algunas cuestiones de control óptimo. - Boletín de la Universidad Estatal de Moscú, Matem. y mech., N2 (1959).
A. F. Filippov. Ecuaciones diferenciales con lado derecho discontinuo. — M .: Nauka, 1985.
A. cellina . UNA MIRADA SOBRE LAS INCLUSIONES DIFERENCIALES , -Rend . Sem. Estera. Universidad Pablo Turín - vol. 63, 3 (2005).