Continuidad absoluta

La continuidad absoluta es una propiedad de las funciones y medidas en el análisis matemático , que, informalmente hablando, es el cumplimiento del teorema de Newton-Leibniz sobre la conexión entre integración y diferenciación . Usualmente este teorema se formula en términos de la integral de Riemann e incluye en sus condiciones la integrabilidad de la derivada en el sentido de Riemann. Al pasar a una integral de Lebesgue más general , el requisito natural para la existencia de una derivada medible en casi todas partes se vuelve demasiado débil, y para cumplir una relación análoga al teorema de Newton-Leibniz, se necesita una condición más sutil, que se llama continuidad absoluta . Este concepto se traslada a las medidas con la ayuda de la derivada Radon-Nikodim .

Funciones absolutamente continuas

Una función se llama función absolutamente continua en un intervalo finito o infinito , si para alguna existe tal que para cualquier conjunto finito de intervalos disjuntos por pares del dominio de la función que satisface la condición , se satisface la desigualdad [1] . $f\izquierda(x\derecha)$ $\varepsilon > 0$ $\delta>0$ $\izquierda(x_{i},y_{i}\derecha)$ $F$ $\sum _{i=1}^{n}\left|y_{i}-x_{i}\right|<\delta$ $\sum _{i=1}^{n}\left|f\left(y_{i}\right)-f\left(x_{i}\right)\right|<\varepsilon$

Una función que es absolutamente continua en un intervalo es uniformemente continua y, por lo tanto, continua . Lo opuesto no es verdad.

Propiedades

Toda función absolutamente continua tiene una variación acotada en intervalos de longitud finita .

Las funciones absolutamente continuas forman un espacio vectorial . Además, forman un subespacio cerrado en el espacio de funciones de variación acotada.

El producto de funciones que son absolutamente continuas en un intervalo de longitud finita da una función absolutamente continua.

Toda función absolutamente continua se puede representar como la diferencia de dos funciones absolutamente continuas no decrecientes.

Sea una función absolutamente continua en . Entonces es diferenciable casi en todas partes; la derivada generalizada es Lebesgue integrable y la igualdad se cumple para todos : $F$ $[a,b]$ $F'$ $x\en[a,b]$ $\int \limits _{a}^{x}{F'(t)\,dt}=F(x)-F(a)$ .

Por el contrario, una función que tiene una derivada generalizada integrable de Lebesgue en un intervalo es absolutamente continua en él, hasta un conjunto de medida de Lebesgue cero.

Si una función es absolutamente continua sobre un segmento y absolutamente continua sobre un segmento que contiene todos los valores de , entonces para que una superposición sea absolutamente continua es necesario y suficiente que sea una función de variación acotada ( teorema de Fichtengolz ). $f(x)$ $[a,b]$ $F(y)$ $f(x)$ $F[f(x)]$

Toda función absolutamente continua tiene la propiedad de Luzin .
Una variación de una función absolutamente continua es absolutamente continua. $V_{a}^{x}(f)$ $F$
Sean y absolutamente continuos en , entonces la fórmula clásica de integración por partes es válida para ellos. $F$ $gramo$ $[a,b]$
Sea diferenciable en cada punto del segmento (es importante que exactamente en cada punto), y sea integrable en el sentido de Lebesgue, entonces sea absolutamente continua. $F$ $[a,b]$ ${\ estilo de visualización f'}$ $[a,b]$ $F$

Ejemplos

Cualquier función de Lipschitz es absolutamente continua.

Las siguientes funciones son continuas pero no absolutamente continuas

la función de Cantor ;
función

f(x)={\begin{casos}0,&{\mbox{si }}x=0\\x\sin(1/x),&{\mbox{si }}x\neq 0\end{ casos}}

en intervalos finitos que contienen 0;

función en intervalos ilimitados. $f(x)=x^{2}$

Véase también

Notas

↑ Bogachev V. I. , Smolyanov O. G. Análisis real y funcional: curso universitario. - M.-Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámica Regular y Caótica", Instituto de Investigación Informática, 2009. - P. 188. - 724 p. - ISBN 978-5-93972-742-6 .

Literatura

Nikolsky S. M. Curso de análisis matemático. - 3ro. — M .: Nauka , 1983 . - T. 2. - 544 pág. — ISBN 5-02-014425-8 .
Shilov G. E. Análisis matemático. Curso especial. - 2do. — M .: Fizmatlit , 1961 . — 436 pág.