Transformación de Möbius

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La transformada de Möbius es una transformación de una compactación de un punto del espacio euclidiano , que es una composición de un número finito de inversiones con respecto a las hiperesferas y reflexiones con respecto a los hiperplanos . [1] . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n))}=\mathbb {R} ^{n}\cup \{\infty \))$

En la literatura inglesa, el término transformación de Möbius a menudo se define solo para el plano complejo extendido como una transformación especificada mediante una función fraccionaria lineal : ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ $f:{\widehat {\mathbb {C} }}\to {\widehat {\mathbb {C} }}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matriz}a&b\\c&d\end{matriz}}\ derecha|\neq 0

Esta definición se puede considerar como un caso especial del general para , ya que si el plano complejo extendido se representa como , entonces las definiciones son equivalentes. En la literatura en idioma ruso, para las funciones fraccionarias lineales de números complejos, se utiliza el término transformación fraccionaria lineal . $n=2$ ${\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2))}=\mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

Para el caso de una compactación de un punto de una línea, es una línea real extendida proyectivamente . En él, las transformaciones de Möbius se pueden definir de manera similar al caso complejo con la ayuda de funciones fraccionarias lineales. $n=1$

Recta numérica extendida proyectivamente

En caso de que el espacio sea una recta numérica extendida. En este caso, la transformación de Möbius permite una definición alternativa utilizando una función lineal-fraccional: $n=1$ $\R \cup \{\infty\}$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {R} ,\quad \left|{\begin{matriz}a&b\\c&d\end{matriz}}\ derecha|\neq 0

Plano complejo extendido

En el caso, el espacio puede verse como un plano complejo extendido. Considerada de esta manera, la transformada de Möbius también se denomina transformación fraccionaria lineal y se puede definir alternativamente mediante una función fraccionaria lineal: $n=2$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\cup \{\infty \))$

f(x)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {ax+b}{cx+d)),&x\neq \infty \\\displaystyle {\frac {a}{c)) ,&x=\infty \end{cases}}\quad a,b,c,d\in \mathbb {C} ,\quad \left|{\begin{matriz}a&b\\c&d\end{matriz}}\ derecha|\neq 0

En un espacio de dimensión 2, la transformación de Möbius transforma círculos generalizados en círculos generalizados. Puede considerarse como una transformación puntual o como una transformación de círculos generalizados [2] :

como transformación de punto, la transformación de Möbius es una transformación del plano euclidiano extendido tal que un círculo o una línea se convierte en un círculo o una línea. Tenemos geometría analagmática puntual ;
como transformación no puntual, la transformación de Möbius es un caso especial de una transformación de contacto , en la que el elemento principal no es un punto, sino un círculo. Tenemos una geometría analagmática circular.

Las siguientes propiedades simples se verifican fácilmente:

El mapeo de identidad también es un caso especial de una función lineal fraccionaria. Suficiente para sustituir $f(z)=z$ ${\ estilo de visualización a = d = 1, \; b = c = 0.}$
La superposición de aplicaciones fraccionarias lineales también será una función fraccionaria lineal.
Una función inversa a una lineal-fraccional también lo será.

De ello se deduce que las aplicaciones lineales-fraccionales formarán un grupo bajo la operación de superposición ( el grupo de automorfismos de la esfera de Riemann , también llamado grupo de Möbius ). Este grupo es un grupo de Lie tridimensional complejo .

Propiedades algebraicas

Al multiplicar los parámetros , , , por un número complejo distinto de cero, la transformación no cambia. Formalmente hablando, el grupo de Möbius es una proyectivización del grupo , es decir, hay un epimorfismo : . $a$ $b$ $C$ $d$ $GL_{2}(\matemáticas{C} )$ $\left(\begin{matriz}a&&b\\c&&d\end{matriz}\right)\to\frac{az+b}{cz+d}$

El grupo de Möbius es isomorfo al grupo ortocrónico especial de Lorentz $SO^\flecha arriba(1,\;3)$ .

Supongamos que la matriz correspondiente a la transformación está normalizada, es decir, cumple la condición . Entonces, dependiendo de la traza de esta matriz, igual a , podemos clasificar todas las aplicaciones fraccionarias lineales en tres tipos: $anuncio-bc=1$ $a+d$

elíptica: ; $|a+d|<2$
parabolica: ; $a+d=\pm 2$
hiperbólico: . $|a+d|>2$

Propiedades geométricas

Primero, cualquier mapeo fraccionario lineal se puede representar como una combinación de cambios , inversiones , rotaciones y estiramientos . Esto es fácil de probar: un mapa arbitrario se puede descomponer en una superposición de cuatro funciones: $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

f(z)=f_4(f_3(f_2(f_1(z)))),

dónde

\begin{matriz}f_1(z)&=&z+\dfrac{d}{c},\\f_2(z)&=&\dfrac{1}{z},\\f_3(z)&=&-\ dfrac{ad-bc}{c^2}z,\\f_4(z)&=&z+\dfrac{a}{c}.\end{matriz}

En segundo lugar, la propiedad de preservar los ángulos y los círculos bajo un mapeo lineal-fraccional se sigue inmediatamente de esto, ya que todos los mapeos incluidos en la superposición son conformes. Aquí nos referimos a círculos en la esfera de Riemann , que incluyen líneas en el plano.

Además, para tres puntos distintos por pares , existe un mapeo fraccionario lineal único que asigna estos tres puntos a los tres puntos distintos por pares dados . Se construye en base al hecho de que los mapeos lineales-fraccionales conservan la relación anarmónica de cuatro puntos del plano complejo. Si el punto es la imagen del punto , entonces la igualdad $z_1,\;z_2,\;z_3$ $w_1,\;w_2,\;w_3$ $w(z)$ $z$

\frac{(z_1-z_3)(z_2-z)}{(z_1-z)(z_2-z_3)}=\frac{(w_1-w_3)(w_2-w(z))}{(w_1-w( z))(w_2-w_3)},

que (bajo la condición de que para ) determina de forma única el mapeo deseado $z_i \ne z_j, w_i \ne w_j$ $yo \ ne j$ $w(z).$

La transformación de Möbius y el círculo unitario

Transformación de Möbius

f(z)=\frac{az+b}{cz+d}

es un automorfismo del círculo unitario si y sólo si y . $\Delta=\{z \in {\mathbb C}: \, |z|<1\}$ $a{\bar b}=c{\bar d}$ ${\ estilo de visualización |a|=|d|>|c|}$

Tanto para la esfera de Riemann como para el círculo unitario, todos los automorfismos conformes se agotan en funciones fraccionarias lineales. Los automorfismos del círculo unitario forman un subgrupo tridimensional real del grupo de Möbius; cada uno de ellos se expresa como:

f(z)=e^{i\varphi}\frac{z+\beta}{{\bar\beta}z+1},\quad\beta\in\Delta,\quad|e^{i\varphi} |=1.

Ejemplos

Un ejemplo importante de una función fraccionaria lineal es la transformada de Cayley :

W(z)=\frac{zi}{z+i}.

Vincula dos dominios canónicos en el plano complejo asignando el semiplano superior al círculo unitario . ${\matemáticas C}^+$ $\Delta$

Espacios de mayores dimensiones

Comenzar con cualquier mapeo conforme es una transformación de Möbius. Las transformaciones de Möbius tienen uno de los siguientes tipos: $n=3$

${\ estilo de visualización f (x) = b + A (xa)}$
${\displaystyle f(x)=b+{\dfrac {A(xa)}{|xa|^{2))))$ ,

donde , es una matriz ortogonal . $a,b\in \mathbb {R}$ $A$

Notas

↑ Transformaciones de Alfors L. Möbius en espacio multidimensional, 1986 , p. 5.
↑ Enciclopedia Matemática , Vol. 3, 1982 , st. 122.

Literatura

Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.
Transformaciones de Alfors L. Möbius en el espacio multidimensional: Per. De inglés. N. A. Gusevsky. ed. S. L. Krushkala . M.: Mir, 1986. 112 p., il. [Matemáticas modernas. Cursos introductorios.]
Enciclopedia matemática : cap. edición I. M. Vinogradov , volumen 3 Koo-Od. M .: "Enciclopedia soviética", 1982. 1184 stb., Ill.

Enlaces

Transformaciones de Moebius reveladas Archivado el 16 de febrero de 2011 en Wayback Machine en YouTube .
- lo mismo (con subtítulos en ruso) Archivado el 22 de junio de 2015 en Wayback Machine .