Diferenciación (álgebra)

La derivación en álgebra es una operación que generaliza las propiedades de varias derivadas clásicas y permite introducir ideas de geometría diferencial en la geometría algebraica . Inicialmente, este concepto se introdujo para estudiar la integrabilidad de expresiones en funciones elementales por métodos algebraicos.

Anillo , campo , álgebra equipada con diferenciación se denominan anillo diferencial , campo diferencial , álgebra diferencial , respectivamente.

Definición

Sea un álgebra sobre un anillo . Una derivación algebraica es un mapeo -lineal que satisface la identidad de Leibniz: $A$ $R$ $A$ $R$ ${\ estilo de visualización \ parcial: A \ a A}$

\parcial (ab)=(\parcial a)b+a(\parcial b)

En un caso más general, una derivación conmutativa con valores en el módulo es un mapa lineal que satisface la identidad de Leibniz. En este caso , el conjunto de todas las derivaciones con valores en se denota por ( , ) y es un módulo. Un funtor es representable , su objeto que lo representa se denota por o y se llama el módulo de diferenciales de Kähler . es el objeto inicial en la categoría de módulos diferenciales sobre , es decir, existe una derivación tal que toda derivación pasa por : $A$ $A$ $METRO$ $R$ ${\ estilo de visualización \ parcial: A \ a M}$ $METRO$ $A$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ mathrm {D} (M)}$ $\mathrm {Der} (M)$ $\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ $A$ $\mathrm{D}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {1} (A)}$ ${\displaystyle\Omega_{A/R}^{1}}$ ${\ estilo de visualización \ Lambda ^ {1} (A)}$ $A$ $d:A\a\Lambda ^{1}(A)$ $\delta \in \mathrm {D} (M)$ $d$

\existe!f:\Lambda ^{1}(A)\to M:~\delta =f\circ d

Propiedades

${\ estilo de visualización \ mathrm {D} (A)}$ tiene una estructura de álgebra de mentira natural : . $\mathrm {D}_{1},\mathrm {D}_{2}\in \mathrm {D} (A)\implica [\mathrm {D}_{1},\mathrm {D} _ {2}]=\mathrm {D} _ {1}\circ \mathrm {D}_{2}-\mathrm {D}_{2}\circ \mathrm {D}_{1}\in \ matemáticas{D}(A)$

Cualquier derivación es un operador diferencial de primer orden (en el sentido del álgebra conmutativa). Además, si es un álgebra con unidad, entonces para cualquier módulo tenemos : $A$ $A$ $METRO$

\mathrm {Dif} _{1}(M)=\mathrm {D} (M)\oplus M

donde es el módulo de operadores diferenciales de primer orden de a . $\mathrm {Diferencia} _{1}(M)$ $A$ $METRO$

$\mathrm {Der} _{R}(A,M)$ es un funtor de a . $({\mathcal {R}}ing^{op})\times (R-{\mathcal {A}}lg^{op})\times (A-{\mathcal {M}}od)$ $A-{\mathcal {M}}od$

Diferenciación graduada

Para un álgebra graduada con clasificación de elementos denotada por , el análogo de la diferenciación son las derivaciones graduadas generadas por asignaciones de grados homogéneos que satisfacen la siguiente identidad de Leibniz graduada ( ): $\matemáticas {Z}$ $A$ $a \ en A$ $|un|$ $\mathrm {D} :A\to A$ ${\ estilo de visualización | \ matemáticas {D} |}$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon = \ pm}$

\mathrm {D} (ab)=(\mathrm {D} a)b+\varepsilon ^{|a||\mathrm {D} |}a(\mathrm {D} b)

Si , entonces las derivaciones graduadas coinciden con las ordinarias. Si , entonces por lo general se les llama superderivaciones . Las superderivaciones forman una superálgebra de Lie con respecto al superconmutador: $\varepsilon=1$ ${\ estilo de visualización \ varepsilon = -1}$

[\mathrm {D}_{1},\mathrm {D}_{2}]=\mathrm {D}_{1}\circ \mathrm {D}_{2}-(-1) ^{|\mathrm {D} _ {1}||\mathrm {D} _ {2}|}\mathrm {D} _ {2}\circ \mathrm {D} _ {1}

Ejemplos de superderivaciones son las derivaciones externas e internas en el anillo de formas diferenciales .

Literatura

Bourbaki, Nicolas (1989), Álgebra I , Elementos de las matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9 .
Kolar, Iván; Slovák, Jan & Michor, Peter W. (1993), Operaciones naturales en geometría diferencial , Springer-Verlag , < http://www.emis.de/monographs/KSM/index.html > .