Functor (matemáticas)

Un funtor es un tipo especial de mapeo entre categorías . Puede entenderse como un mapeo que preserva la estructura. Los funtores entre categorías pequeñas son morfismos en la categoría de categorías pequeñas . La colección de todas las categorías no es una categoría en el sentido habitual, ya que la colección de sus objetos no es una clase . Una forma de superar tales dificultades de la teoría de conjuntos es agregar un axioma independiente a ZFC sobre la existencia de cardenales inalcanzables .

Por primera vez, los funtores comenzaron a ser considerados en la topología algebraica , en la que los objetos algebraicos (por ejemplo, el grupo fundamental ) están asociados con espacios topológicos , y los homomorfismos entre estos objetos están asociados con aplicaciones continuas . Posteriormente, los funtores se generalizaron en muchas áreas de las matemáticas y se utilizan para conectar varias categorías.

El término "functor" fue tomado por los matemáticos de las obras del filósofo Rudolf Carnap [1] , mientras que en Carnap la palabra "functor" se refería a un concepto lingüístico [2] .

Definición

Un funtor (covariante) de categoría a categoría es un mapeo que: ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\ matemáticas {C}}$ $\mathcal{D}$

asigna cada objeto a un objeto $X\in {\mathcal {C}}$ ${\mathcal {F}}(X)\in {\mathcal {D}},$
asigna a cada morfismo en la categoría un morfismo en la categoría . Esta asignación debe tener las siguientes propiedades: $f:X\a Y$ ${\ matemáticas {C}}$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(X)\to {\mathcal {F}}(Y)$ $\mathcal{D}$
- ${\mathcal {F}}({\mathrm {id}}_{A})={\mathrm {id}}_{({\mathcal {F}}(A)))$ ,
- ${\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(g)\circ {\mathcal {F}}(f)$ .

Así, el funtor debe preservar los morfismos de identidad y la estructura de la composición de morfismos.

De manera similar, un funtor contravariante es un mapa que invierte las flechas (es decir, asigna un morfismo a un morfismo ), conserva morfismos idénticos y satisface la igualdad: $f:X\a Y$ ${\mathcal {F}}(f):{\mathcal {F}}(Y)\to {\mathcal {F}}(X)$

{\mathcal {F}}(g\circ f)={\mathcal {F}}(f)\circ {\mathcal {F}}(g)

Además, un funtor contravariante se puede definir como un funtor covariante de la categoría dual . Algunos autores prefieren escribir todas las expresiones de forma covariante, y en lugar de las palabras "funtor contravariante de a " dicen "funtor de a " (o, a veces, "funtor de a "). ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ ${\ matemáticas {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {C}}^{{\mathrm {op}}}$ $\mathcal{D}$ ${\ matemáticas {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{\mathrm {op}}}$

Bifuntores y multifundores

Un bifuntor es un funtor de dos argumentos. Un ejemplo natural es el funtor Hom , que es covariante en un argumento y contravariante en otro.

Formalmente, los bifuntores se definen como funtores de la categoría de producto . Por ejemplo, un funtor tiene la forma . ${\ matemáticas {hom}}$ ${\mathcal C}^{{\mathrm {op}}}\times {\mathcal C}\to {\mathbf {Establecer}}$

Un multifuntor es una generalización de la noción de un bifuntor en variables. $norte$

Ejemplos

Para especificar un funtor, uno debe definir su acción no solo sobre los objetos de categoría, sino también (lo que es más importante) sobre los morfismos: hay varios funtores que actúan de la misma manera sobre los objetos, por ejemplo, el funtor identidad y el funtor anti -identidad. que invierte las flechas.

Sea una subcategoría en la categoría . En este caso, se define el funtor de incrustación , que actúa sobre objetos y morfismos como las incrustaciones de clase correspondientes. ${\ matemáticas {C}}$ $\mathcal{D}$ $Yo:{\mathcal {C}}\hookrightarrow {\mathcal {D}}$

Funtor constante: un funtor que mapea cada objeto de categoría a un objeto de categoría fija y cada morfismo al morfismo de identidad de ese objeto. ${\ matemáticas {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\ matemáticas {C}}$

Los endofuntores son cualquier funtor de una categoría en sí mismos.

Espacio vectorial dual : una aplicación que asigna a cada espacio vectorial su aplicación dual y a cada aplicación lineal su aplicación dual (o transpuesta) es un endofuntor contravariante en la categoría de espacios vectoriales.

Sea una categoría específica , es decir, una categoría equipada con un funtor univalente en la categoría de conjuntos (un caso especial del funtor olvidadizo ). Con la ayuda de este funtor, los conjuntos se asocian con objetos de una categoría, y uno puede pensar en los morfismos como funciones en estos conjuntos que conservan una estructura adicional (ejemplo: categoría de grupos , categoría de anillos , categoría de conjuntos ). El adjunto izquierdo (si existe) a un funtor olvidadizo es un funtor de objeto libre (ejemplo: módulo libre ). ${\ matemáticas {C}}$

Pregavillas : sea un espacio topológico , luego los subconjuntos abiertos forman un conjunto parcialmente ordenado con respecto a la inclusión, denotado por . Como con cualquier poset, uno puede asociar una categoría agregando un solo morfismo si y solo si . Los funtores contravariantes de se llaman pregavillas . Por ejemplo, hay un funtor en la categoría de álgebras reales que asocia un conjunto abierto con un álgebra de funciones continuas de valores reales sobre él. $X$ $X$ $BUEY)$ $BUEY)$ $U a V$ $U\subconjunto V$ $BUEY)$

Grupo fundamental : cada espacio topológico con un punto marcado se puede asociar con un grupo fundamental cuyos elementos son clases de equivalencia de bucle hasta la homotopía . Si es un morfismo de espacios con un punto marcado (un mapeo continuo que lleva un punto marcado del primer espacio a un punto marcado del segundo), cada bucle desde el punto se puede asociar con su imagen, que es un bucle desde el punto _ Este mapeo es consistente con las clases de equivalencia y con la operación de composición, por lo que es un homomorfismo de a . Es fácil comprobar que se cumplen todas las demás propiedades de un funtor covariante desde la categoría de espacios topológicos con punto marcado hasta la categoría de grupos . $X$ $x_{0}$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $f:X\a (Y)$ $x_{0}$ $y_0$ $\pi(X,x_{0})$ $\pi (Y,y_{0})$

Paquete tangente y cotangente : un mapa que asocia una variedad suave con su paquete tangente y un difeomorfismo de variedades con su diferencial , es un funtor covariante de la categoría de variedades suaves y difeomorfismos a la categoría de paquetes vectoriales . De manera similar, el paquete cotangente y el codiferencial de un difeomorfismo definen un funtor contravariante. La consideración del espacio tangente en un punto fijo define un funtor covariante de la categoría de variedades suaves con un punto marcado y aplicaciones suaves a la categoría de espacios vectoriales.

Producto tensorial : si es una categoría de espacios vectoriales sobre un campo fijo, el producto tensorial de dos espacios define un funtor que es covariante en ambos argumentos [3] . ${\ matemáticas {C}}$ ${\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\to {\mathcal {C}}$

Los objetos simpliciales son funtores contravariantes arbitrarios de una categoría simplicial a varias categorías (a la categoría de conjuntos - un conjunto simplicial , a la categoría de grupos - un grupo simplicial y otros); Las construcciones que generalizan la noción de un complejo simplicial juegan un papel importante en la topología algebraica.

Un funtor asigna a un campo su grupo de Galois absoluto y a un homomorfismo de campos el correspondiente $Gal:{\mathbf {Fld}}^{{\mathrm {op}}}\to {\mathbf {Grp}}$ $F$ $galones({\bar F}/F)$ [ aclarar ] homomorfismo de grupos de Galois.

Propiedades

El funtor lleva diagramas conmutativos a diagramas conmutativos.
El funtor lleva los isomorfismos a isomorfismos.
La composición de dos funtores también es un funtor. La composición de funtores es una operación asociativa (donde se define), por lo que los funtores entre categorías pequeñas satisfacen todas las propiedades de los morfismos en la categoría.

Una categoría de un objeto es lo mismo que un monoide : los morfismos en él corresponden a los elementos del monoide, y la operación de composición de morfismos corresponde a la operación definida en el monoide. Los funtores entre categorías con un objeto corresponden uno a uno a los homomorfismos monoides; por lo tanto, en cierto sentido, un funtor es una generalización de la noción de homomorfismo de monoides a "monoides en los que la operación de composición no está definida en todas partes".

Conexión con otros conceptos categóricos

Let y be categorías. El conjunto de todos los morfismos puede considerarse el conjunto de objetos de otra categoría: la categoría de los funtores . Los morfismos de esta categoría son transformaciones naturales de los funtores. ${\ matemáticas {C}}$ $\mathcal{D}$ ${\mathcal {F}}\colon {\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$

Los funtores a menudo se especifican usando propiedades universales , los ejemplos incluyen productos tensoriales , productos de grupos, conjuntos o espacios vectoriales, límites directos e inversos . Además, las construcciones universales a menudo definen un par de funtores adjuntos .

Notas

↑ McLane, 2004 , pág. 42.
↑ Carnap R. La sintaxis lógica del lenguaje. - Routledge & Kegan Paul, 1937. - P. 13-14.
↑ Hazewinkel M., Gubareni N. M., Kirichenko V. V. . Álgebras, Anillos y Módulos. vol. 1 . - Dordrecht: Springer Science & Business Media , 2004. - 380 p. - (Matemáticas y sus aplicaciones, vol. 575). - ISBN 978-1-4020-2690-4 . - Pág. 99-100.

Literatura

Bucur I., Delyanu A. . Introducción a la teoría de categorías y funtores. — M .: Mir , 1972. — 259 p.
Maclain S. Capítulo 2. Construcciones en categorías // Categorías para un matemático en activo. — M .: Fizmatlit , 2004. — 352 p. — ISBN 5-9221-0400-4 . - S. 43-67.
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. . Fundamentos de la teoría de categorías. — M .: Nauka , 1974. — 256 p.

Enlaces

Marqués, Jean-Pierre. Teoría de categorías (inglés) . Enciclopedia de Filosofía de Stanford. — Incluye una bibliografía muy completa. Consultado el 30 de julio de 2013. Archivado desde el original el 13 de agosto de 2013.