Prueba de la irracionalidad de e

El número e fue descubierto por Jacob Bernoulli en 1683. Más de medio siglo después , Euler , quien fue alumno del hermano menor de Jakob, Johann , demostró que e es irracional , es decir, no se puede expresar como una razón de dos números enteros.

Prueba de Euler

Euler demostró por primera vez la irracionalidad de e en 1737, la prueba en sí se publicó siete años después [1] [2] [3] . Encontró una representación de e como una fracción continua

e=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,\ldots, 2n,1,1,\ldots]

Como esta fracción continua es infinita y la fracción continua de los números racionales es finita, entonces e es irracional. Se han encontrado breves demostraciones de la igualdad anterior [4] [5] . Dado que la fracción continua e no es periódica , esto prueba que e no puede ser raíz de un polinomio cuadrático con coeficientes racionales, lo que implica que e 2 también es irracional.

Prueba de Fourier

La prueba más famosa es la prueba de Fourier , que se construye por contradicción [6] y se basa en la representación de e por una serie infinita

e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}\cdot

Supongamos que e es un número racional de la forma a/b , donde a y b son números enteros. El número b no puede ser igual a 1 porque e no es un número entero. De la serie infinita anterior, se puede demostrar que e está estrictamente entre 2 y 3:

2=1+{\tfrac {1}{1!}}<e=1+{\tfrac {1}{1!}}+{\tfrac {1}{2!)}}+{\ tfrac {1}{3!}}+\cdots <1+\left(1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{2^{2}}}+{\tfrac { 1 }{2^{3}}}+\cdots\right)=3.

Definamos un número

x=b!\left(e-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!)}}\right).

Demostremos que x es un número entero. Para hacer esto, sustituya e =aben esta igualdad

x=b!\left({\frac {a}{b}}-\sum _{n=0}^{b}{\frac {1}{n!)}}\right)=a (b-1)!-\sum _{n=0}^{b}{\frac {b!}{n!}}.

El primer término es un número entero, y cada fracción de la suma también es un número entero, ya que n ≤ b para cada número bajo el signo de la suma. Por lo tanto , x es un número entero.

Ahora demostremos que 0 < x < 1 . Para probar que x > 0 , sustituimos la representación en serie de e en la definición de x

x=b!\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}-\sum _{n=0}^{b}{\ fracción {1}{n!}}\right)=\sum _{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!)}}>0,

ya que todos los términos de la suma son estrictamente positivos.

Probemos ahora que x < 1. Para todos los términos con n ≥ b + 1 tenemos la estimación superior

{\frac {b!}{n!}}={\frac {1}{(b+1)(b+2)\cdots (b+(nb))))\leq {\frac {1 {(b+1)^{nb}}}.

Esta desigualdad es estricta para cualquier n ≥ b + 2. Cambiando el índice de suma a k = n – b y usando la fórmula para la serie geométrica infinita , obtenemos

x=\sum_{n=b+1}^{\infty }{\frac {b!}{n!)}}<\sum_{n=b+1}^{\infty}{ \frac{1}{(b+1)^{nb}}}=\sum_{k=1}^{\infty}{\frac{1}{(b+1)^{k}}}= { \frac {1}{b+1}}\left({\frac {1}{1-{\frac {1}{b+1))))\right)={\frac {1}{b } }<1.

Dado que no existe un entero x estrictamente entre 0 y 1, hemos llegado a una contradicción, por lo que e debe ser irracional. QED

Otras pruebas

A partir de la prueba de Fourier, se puede obtener otra prueba [7] al notar que

(b+1)x=1+{\frac {1}{b+2}}+{\frac {1}{(b+2)(b+3)))+\cdots <1+ {\frac{1}{b+1}}+{\frac{1}{(b+1)(b+2)))+\cdots =1+x,

lo que equivale a decir que bx < 1. Por supuesto, esto es imposible, ya que b y x son números naturales.

Otra prueba [8] [9] se puede obtener de la igualdad

{\frac {1}{e}}=e^{-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n! }}\cdot

Vamos a definirlo como: ${\ estilo de visualización s_ {n}}$

s_{n}=\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.

Después

e^{-1}-s_{2n-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!)}}- \ suma _{k=0}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}<{\frac {1}{(2n)!}},

de donde se sigue

0<(2n-1)!\left(e^{-1}-s_{2n-1}\right)<{\frac {1}{2n))\leq {\frac {1}{ 2}}

para cualquier todo ${\ estilo de visualización n \ geq 2.}$

Tenga en cuenta que siempre es un número entero. Supongamos que una forma racional , donde los números coprimos y pueden elegirse de modo que sea un número entero, por ejemplo, tomando Para tal diferencia entre y será un número entero. Pero debido a la desigualdad anterior, este número entero debe ser menor que 1/2, lo cual es imposible. Se obtiene una contradicción, por tanto irracional, y por tanto irracional también. ${\ estilo de visualización (2n-1)! s_ {2n-1}}$ ${\ estilo de visualización e ^ {-1))$ $e^{-1}={\tfrac{p}{q))$ $pag q$ ${\ estilo de visualización q \ neq 0.}$ $norte$ ${\ estilo de visualización (2n-1)! e ^ {-1))$ $n\geq {\tfrac {q+1}{2)).$ $norte$ ${\ estilo de visualización (2n-1)! e ^ {-1))$ ${\ estilo de visualización (2n-1)! s_ {2n-1}}$ ${\ estilo de visualización e ^ {-1))$ $mi$

Generalizaciones

En 1840, Liouville publicó una prueba de la irracionalidad de e 2 [10] , que se derivaba de la prueba de que e 2 no puede ser raíz de un polinomio de segundo grado con coeficientes racionales [11] . Se sigue que e 4 también es irracional. La prueba de Liouville es similar a la prueba de Fourier. En 1891, Hurwitz , usando ideas similares, encontró que e no puede ser una raíz de un polinomio de tercer grado con coeficientes racionales [12] , y en particular que e 3 es irracional.

De manera más general, e q es irracional para cualquier q racional distinto de cero [13] .

Véase también

Características de la función exponencial
número trascendental
Teorema de Lindemann-Weierstrass

Notas

↑ Euler, Leonard (1744). "De fractionibus continuis dissertatio" [Una disertación sobre fracciones continuas] (PDF) . Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 :98-137. Archivado (PDF) desde el original el 2011-05-20 . Consultado el 14 de febrero de 2021 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Euler, Leonhard (1985). “Un ensayo sobre fracciones continuas” . Teoría de Sistemas Matemáticos . 18 : 295-398. doi : 10.1007/ bf01699475 . HDL : 1811/32133 . Archivado desde el original el 10 de septiembre de 2017 . Consultado el 14 de febrero de 2021 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )
↑ Sandifer, C. Edward. Capítulo 32: ¿Quién demostró que e es irracional? // Cómo lo hizo Euler. - Asociación Matemática de América , 2007. - P. 185-190. - ISBN 978-0-88385-563-8 .
↑ Una breve demostración de la expansión en fracciones continuas simples de e . Consultado el 14 de febrero de 2021. Archivado desde el original el 25 de enero de 2021. (indefinido)
↑ Cohn, Henry (2006). “Una breve prueba de la expansión simple en fracción continua de e ” . Mensual Matemático Americano . Asociación Matemática de América . 113 (1): 57-62. arXiv : matemáticas/0601660 . DOI : 10.2307/27641837 . JSTOR 27641837 .
↑ de Stainville, Janot. Mélanges d'Analyse Algebrique et de Géométrie. - Veuve Courcier, 1815. - Pág. 340-341.
↑ MacDivitt, ARG & Yanagisawa, Yukio (1987), Una prueba elemental de que e es irracional , The Mathematical Gazette (Londres: Mathematical Association ) . — T. 71 (457): 217 , DOI 10.2307/3616765
↑ Penesi, LL (1953). “Prueba elemental de que e es irracional”. Mensual Matemático Americano . Asociación Matemática de América . 60 (7): 474. doi : 10.2307/ 2308411 . JSTOR2308411 . _
↑ Apóstol, T. (1974). Análisis matemático (2ª ed., Serie Addison-Wesley en matemáticas). Lectura, Massachusetts: Addison-Wesley.
↑ Liouville, José (1840). “Sur l'irracionalité du nombre e = 2.718…”. Journal de Mathematiques Pures et Appliques . 1 _ ]. 5 :192.
↑ Liouville, José (1840). "Addition à la note sur l'irrationnalité du nombre e ". Journal de Mathematiques Pures et Appliques . 1 _ ]. 5 : 193-194.
↑ Hurwitz, Adolf. Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e // Mathematische Werke: [ alemán. ] . - Basilea: Birkhäuser , 1933. - Vol. 2.- Pág. 129-133.
↑ Aigner, Martin y Ziegler, Günter M. (1998),Pruebas de THE BOOK (4ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , p. 27–36, ISBN 978-3-642-00855-9 , DOI 10.1007/978-3-642-00856-6 .