Hodge estrella

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La estrella de Hodge es un importante operador lineal desde el espacio de q - vectores hasta el espacio de ( n − q )-formas . El tensor métrico define un isomorfismo canónico entre los espacios de q - formas y q -vectores, por lo que normalmente la estrella de Hodge es un operador del espacio de formas diferenciales de dimensión q al espacio de formas de dimensión n − q.

*\colon \Lambda ^{q}(T^{*}M)\to \Lambda ^{{nq}}(T^{*}M)

Este operador fue introducido por William Hodge .

Definición

Definiciones auxiliares

Determinar la forma del volumen.

\Omega =f(X)dX^{0}\cuña \ldots \cuña dX^{{n-1}}

\Omega _{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f(X)\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}

donde es un escalar no negativo en la variedad y es un símbolo completamente antisimétrico de . . Incluso en ausencia de una métrica, si , es posible determinar los componentes contravariantes de la forma del volumen. $f(X):M\a {\mathbb {R}}$ $METRO$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{0\ldots n-1}}=+1$ $f(X)>0$

{\check {\Omega }}={\frac {1}{f(X))){\frac {\parcial }{\parcial {X^{0))))\cuña \cdots \cuña {\frac {\parcial }{\parcial {}{X^{{n-1))))}

{\check {\Omega }}^{{M_{1}\ldots M_{n}}}=f^{{-1}}(X)\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n} }}

aquí coincide el símbolo antisimétrico . $\varepsilon ^{{M_{1}\ldots M_{n}}}$ $\varepsilon _{{M_{1}\ldots M_{n}}}$

En presencia de una métrica con índices en relieve, puede diferir de por signo: . Aquí y más allá $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $\Omega =\sigma {\check {\Omega ))$ $\sigma =\nombre del operador{sgn} \det(g_{{mk}})$

Introducimos la operación de antisimetrización :

A_{{[m_{1}\ldots m_{q}]}}={\frac {1}{q!}}\sum_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))) ) (-1)^{{\nombre del operador{sgn}(m_{1}\ldots m_{q))}}A_{{\sigma (m_{1}\ldots m_{q)))))

. La sumatoria se realiza sobre todas las permutaciones de los índices encerrados entre corchetes, teniendo en cuenta su paridad . La antisimetrización de los índices superiores se define de manera similar; es posible antisimetrizar solo sobre un grupo de índices del mismo tipo. Ejemplos: ; .

\sigma (m_{1}\ldots m_{q})

\operatorname{sgn}(\sigma)

A_{{k[lm]}}={\frac {1}{2!}}(A_{{klm}}-A_{{kml}})

A_{k}^{{[l}}B_{p}^{{m]}}={\frac {1}{2!}}(A_{k}^{l}B_{p}^{m }-A_{k}^{m}B_{p}^{l})

Abordemos ahora la operación de convolución. Al plegar un conjunto de índices antisimétricos, es conveniente introducir la siguiente notación:

A^{{A\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor B\ldots }}{}_{{C\ldots \lfloor K_{1}\ldots K_{k}\rfloor D\ ldots }}={\frac {1}{k!}}A^{{A\ldots K_{1}\ldots K_{k}B\ldots }}{}_{{C\ldots K_{1}\ ldots K_{k}D\ldots }}

Si el tensor es antisimétrico en los índices de colapso superior e inferior, es posible sumar sobre los índices encerrados entre paréntesis solo sobre conjuntos ordenados sin dividir por , esto se debe al hecho de que diferentes conjuntos de índices que difieren solo en el orden de los índices dan la misma contribución a la suma. $\lpiso\;\rpiso$ $k!$ $K_{1}\ldots K_{k}$

Ahora definimos los tensores:

(A,B)_{{M_{{k+1}}\ldots M_{q}}}^{{(k)}}{}^{{N_{{k+1}}\ldots N_{p }}}=A_{{\lpiso K_{1}\lpuntos K_{k}\rpiso M_{{k+1}}\lpuntos M_{q}}}B^{{\lpiso K_{1}\lpuntos K_ {k}\rpiso N_{{k+1}}\ldots N_{p}}}

(A,B)_{{M_{1}\ldots M_{{qk))))^{{\subrayado {(k)}}}{}^{{N_{1}\ldots N_{{pk} }}}=A_{{M_{1}\lpuntos M_{{qk}}\lpuntos K_{1}\lpuntos K_{k}\rpiso }}B^{{N_{1}\lpuntos N_{{pk} }\lpiso K_{1}\ldots K_{k}\rpiso }}

El índice (k) indica el número de índices sobre los que se realizó la convolución. Cuando esto no pueda dar lugar a ambigüedad, se omitirá (k). Los tensores anteriores pueden diferir (o no diferir) solo por el signo.

Definición general de una estrella de Hodge

Usando la forma de volumen y el polivector , podemos introducir una operación que transforma un polivector de un grado en una forma diferencial de un grado , y una operación inversa que transforma una forma de un grado en un polivector de un grado $\Omega$ ${\check {\Omega ))$ $*$ $B$ $pags$ $*B$ $notario público$ $*^{{-1}}$ $A$ $q$ $*^{{-1}}A$ $n q$

*B=(\Omega ,B)^{{(p)}}

*^{{-1}}A=(A,{\check {\Omega }})^{{\subrayado {(q)))}

Esta operación se llama estrella de Hodge o dualidad de Hodge . En componentes, se ve así:

(*B)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {f(X)}{q!}}B^{{m_{1}\ldots m_{ q}}}\varepsilon _{{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Como y , hemos establecido una correspondencia uno a uno entre formas diferenciales de grado q y polivectores de grado nq $*^{{-1}}*B=B$ $**^{{-1}}A=A$

Además de los operadores y , introducimos un par de operadores: y , que se diferencian de ellos en el signo. $*$ $*^{{-1}}$ ${\controlar {*}}$ ${\verificar {*}}^{{-1}}$

{\check {*}}B=(\Omega ,B)^{{\subrayado {(p)))}

{\verificar {*}}^{{-1}}A=(A,{\verificar {\Omega }})^{{(q)))

La estrella de Hodge en presencia de la métrica

Deje que se dé una métrica en nuestra variedad de dimensión n . Denotemos . $g_{{mk}}$ $g=\det(g_{{mk}})$

El elemento de volumen o formulario de volumen generado por la métrica $g_{{mk}}$ es el formulario En componentes: $\Omega ={\sqrt {|g|}}dX^{0}\wedge \ldots \wedge dX^{n-1}={\sqrt {|g|}}dX^{n}$

\Omega _{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\sqrt {|g|}}\varepsilon _{{m_{1}\ldots m_{n}}}

\Omega ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}={\frac ({\sqrt {|g|}}}{g}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n }}}={\frac {\operatorname{sgn}(g)}{{\sqrt {|g|}}}}\varepsilon ^{{m_{1}\ldots m_{n}}}

Como tenemos una métrica, podemos hacer un isomorfismo canónico entre polivectores y formas diferenciales:

A_{{m_{1}\ldots m_{n}}}=A^{{l_{1}\ldots l_{n}}}g_{{m_{1}l_{1}}}\cdots g_{{ m_{n}l_{n}}}

Por lo tanto, podemos establecer una correspondencia biunívoca entre las formas q y las formas (nq). $(*A)_{{m_{{q+1}}\ldots m_{n}}}={\frac {1}{q!}}\Omega_{{m_{1}\ldots m_{n} }}A_{{l_{1}\ldots l_{q}}}g^{{m_{1}l_{1}}}\cdots g^{{m_{q}l_{q}}}$

Operadores adicionales

En polivectores , puede introducir el operador de tomar la divergencia , que reduce el grado del polivector en 1:

\delta =*^{{-1}}d*

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))={\frac {1}{f(X)}}\parcial_{{M_{q}}}( f(X)A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

En presencia de una métrica, el operador de divergencia se expresa en términos del operador de derivada covariante , definido mediante una conexión simétrica consistente con la métrica : $\delta$ $\nabla$

(\delta A)^{{M_{1}\ldots M_{{q-1))))=(\nabla,A)^{{\underline {(1)}M_{1}\ldots M_{{ q-1}}}}=\nabla _{{M_{q}}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}}={\frac {1}{{\sqrt {|g| }}}}\parcial _{{M_{q}}}({\sqrt {|g|}}A^{{M_{1}\ldots M_{q}}})

A veces, la operación ( derivada externa ) se llama gradiente de formas diferenciales, y la operación se llama divergencia. Para una forma 1, la operación define la divergencia habitual (en presencia de una métrica, las formas diferenciales y el polivector se identifican utilizando el isomorfismo canónico ) $d$ $\delta$ $\delta$

El laplaciano de la forma está dado por: $\Delta$ $q$ $A$

\Delta A=(-1)^{q}(\delta d+d\delta )A

Para un escalar (forma 0), el laplaciano es el operador de Laplace-Beltrami :

\Delta \varphi =\nabla _{M}\nabla ^{M}\varphi ={\frac {1}({\sqrt {|g|)))}\parcial _{M}{\sqrt {|g |}}g^{{MN}}\parcial _{N}\varphi

Para escalar . Si , entonces de acuerdo con la fórmula de Bochner para una métrica arbitraria en , aparecen términos adicionales que son lineales en curvatura. Entonces, en caso $\Delta =\nabla _{M}\nabla ^{M}$ $q>0$ $\Delta$ $q=1$

(\Delta A)_{K}=\nabla _{M}\nabla ^{M}A_{K}-R_{K}{}^{M}A_{M}

donde está el tensor de Ricci construido a partir de una conexión simétrica consistente con la métrica. $R_{K}{}^{M}$

Fuentes

Conferencias de M. G. Ivanov en el curso "Métodos geométricos en la teoría clásica de campos". http://theorphys.mipt.ru/courses/geomm.html