Problema de lanzamiento de agujas de Buffon

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El problema del lanzamiento de agujas de Buffon es uno de los primeros ejemplos de la aplicación del método Monte Carlo y la consideración del concepto de probabilidad geométrica . El problema fue formulado por Buffon en 1777 . Resultó que este problema hizo posible determinar el número π por métodos probabilísticos.

La esencia del problema

La esencia del método era lanzar una aguja larga en un plano dibujado por líneas rectas paralelas ubicadas a una distancia entre sí (ver Fig. 1). $L$ $r$

La probabilidad (como se puede ver en el contexto adicional, no estamos hablando de probabilidad, sino de la expectativa matemática del número de intersecciones en una experiencia; esto se convierte en una probabilidad solo con la condición de que ) que el segmento interseca una línea recta , está relacionado con el número Pi: $r>L$

$p=\int \limits _{{{0}}^{{\pi }}\int \limits _{{0}}^{{l\sin {\theta }}}{\frac {1}{r\ pi}}dAd\theta$ , dónde

$A$ - la distancia desde el comienzo de la aguja hasta la recta más próxima a ella;
$\ theta$ - el ángulo de la aguja con respecto a las líneas rectas.

Siempre que se obtenga la solución: . Así, al contar la proporción de segmentos que intersecan líneas rectas, podemos determinar aproximadamente el número Pi. A medida que aumente el número de intentos, aumentará la precisión del resultado. $r>L$ $p={\frac{2L}{r\pi\,}}$

En 1864, el Capitán Fox, recuperándose de una herida, para ocuparse de alguna manera, implementó un experimento sobre el lanzamiento de una aguja [1] . Los resultados se presentan en la siguiente tabla: [2]

	Número de lanzamientos	Número de intersecciones	Longitud de la aguja	Distancia entre rectas	Rotación	valor pi	Error
Primer intento	500	236	3	cuatro	perdido	3.1780	−0.03640734
Segundo intento	530	253	3	cuatro	presente	3.1423	−0.00070734
tercer intento	590	939	5	2	presente	3.1416	+0.00000734

Comentarios:

Se aplicó la rotación del plano [2] (y, como muestran los resultados, con éxito) para reducir el error sistemático .
En el tercer intento, la longitud de la aguja fue mayor que la distancia entre las líneas, lo que permitió, sin aumentar el número de lanzamientos, aumentar efectivamente el número de eventos y mejorar la precisión.

Variaciones y generalizaciones

El problema de la pasta Buffon es una variante del problema de las curvas. [3]

fórmula de Crofton

Notas

↑ Sorpresas matemáticas: un ejemplo Archivado el 4 de febrero de 2012. (Inglés)
↑ 1 2 A. Hall. Sobre una determinación experimental de Pi // El Mensajero de las Matemáticas. - 1872. - vol. 2.- Pág. 113-114.
↑ Ramaley, JF (1969). "El problema de los fideos de Buffon" (PDF) . El mensual matemático estadounidense . Asociación Matemática de América. 76 (8, octubre de 1969): 916-918. DOI : 10.2307/2317945 . ISSN 0002-9890 . JSTOR2317945 . _ Archivado desde el original (PDF) el 14 de enero de 2020 . Consultado el 23 de noviembre de 2020 . Parámetro obsoleto utilizado |deadlink=( ayuda )

Literatura

Fedotov NG Métodos de geometría estocástica en el reconocimiento de patrones. - M. : Radio y comunicación, 1990. - 142 p.