Problema de Minkowski

El problema de Minkowski:

si existe una hipersuperficie convexa cerrada cuya curvatura gaussiana es una función dada del vector unitario normal hacia afuera . $F$ $G(n)$ $norte$

Dicho por Minkowski , quien posee la solución generalizada del problema en el sentido de que no contiene ninguna información sobre la naturaleza de la regularidad , aunque sea una función analítica . Demostró que si una función positiva continua definida en la hiperesfera unitaria satisface la condición $F$ $G(n)$ $S$ $G(n)$

\int \limits _{S}{\frac {n}{G(n)}}ds=0,

entonces existe y, además, una superficie convexa cerrada única (hasta traslación paralela ) , para la cual es la curvatura gaussiana en un punto con la normal hacia afuera . $F$ $G(n)$ $norte$

La solución regular del problema de Minkowski fue dada por AV Pogorelov en 1971 . En particular, probó que si pertenece a la clase , , entonces la superficie resultante pertenece a la clase de suavidad , y en el caso de la analiticidad, la superficie también resulta ser analítica. $K(n)$ ${\ Displaystyle C^{m}}$ $m\geq 3$ $F$ ${\displaystyle C^{m+1,\alpha ))$ $K(n)$ $F$

Variaciones y generalizaciones

Existe una generalización del problema de Minkowski para un espacio de Riemann [1] .

Véase también

Teorema de los poliedros de Minkowski

Literatura

↑ Bodrenko AI La solución del problema de Minkowski para superficies abiertas en el espacio de Riemann. Archivado el 21 de febrero de 2020 en Wayback Machine Arxiv.org, 2007.

Minkowski H. Volumen und Oberflache, Mathematische Annalen 57 (1903) 447-495
Pogorelov A. V., Problema multidimensional de Minkowski, Moscú, 1971;
Buseman G. Superficies convexas. — 1964.