El problema de la curvatura escalar prescrita

El problema de curvatura escalar prescrito es construir una métrica de Riemann con una curvatura escalar dada . Este problema se resuelve básicamente en el artículo de Kazhdan y Warner. [una]

Redacción

Dada una variedad cerrada y suave y una función real suave, construya una métrica riemanniana sobre , para la cual la curvatura escalar es . $METRO$ $f\dos puntos M\to \mathbb {R}$ $METRO$ $F$

Decisiones

Si la dimensión de la variedad es tres o más, entonces cualquier función uniforme que tome un valor negativo es la curvatura escalar de alguna métrica riemanniana. $METRO$ $f\dos puntos M\to \mathbb {R}$

La suposición de que debe ser negativa en algunos puntos es necesaria porque no todas las variedades admiten una métrica con curvatura escalar estrictamente positiva. Por ejemplo, este es un toro tridimensional . Sin embargo, lo siguiente es cierto. $F$

Si admite una métrica con curvatura escalar estrictamente positiva, entonces cualquier función suave es la curvatura escalar de alguna métrica riemanniana en . $METRO$ $f\dos puntos M\to \mathbb {R}$ $METRO$

Véase también

Problema de Yamabe

Notas

↑ Kazdan, J. y Warner F. Curvatura escalar y deformación conforme de la estructura riemanniana. Revista de Geometría Diferencial. 10 (1975). 113-134.