El problema de la distribución justa de los objetos.

La distribución equitativa de objetos  es un tipo de problema de división equitativa , en el que los objetos que deben distribuirse entre los participantes son indivisibles . Los objetos deben distribuirse entre los socios que evalúan los objetos de manera diferente, y cada elemento debe entregarse en su totalidad a un participante. Esta situación se da en varios escenarios de la vida real:

• varios herederos quieren compartir la herencia , que incluye, por ejemplo, una casa, un coche, un piano y varios cuadros;
• varios profesores deciden compartir los cursos que se imparten en su facultad. Cada profesor puede impartir uno o más cursos, pero solo el curso completo; varios profesores no pueden leer un curso.

De la indivisibilidad de los objetos se sigue que una división justa puede no ser posible. Un ejemplo extremo es el caso cuando solo hay un artículo (por ejemplo, una casa), debe dárselo a un participante, pero los otros participantes no considerarán justa tal decisión. Esto contrasta con el problema justo de cortar el pastel , donde el objeto se puede dividir y hay una solución justa al problema. En algunos casos, el problema de la indivisibilidad puede mitigarse mediante la introducción de pagos en efectivo , rotaciones o el rechazo de algunos objetos, [1] pero tales soluciones no siempre son posibles.

La tarea de distribuir objetos tiene varios componentes:

1. Los participantes deben expresar sus preferencias por diferentes conjuntos de objetos.
2. El grupo debe decidir cuál será el criterio de equidad .
3. Con base en las preferencias y el criterio de equidad, se debe implementar un algoritmo de distribución justa para determinar la solución más justa al problema.

Estos componentes se explican en detalle a continuación.

Preferencias

Preferencias combinatorias

La forma natural de determinar las preferencias es pedirle a cada participante que asigne un número a cada posible conjunto de elementos, es decir, que indique su valor en términos numéricos. Por ejemplo, si los objetos a distribuir son un automóvil y una motocicleta, los participantes pueden valorar un automóvil en 800, una motocicleta en 200 y un conjunto de {automóvil, motocicleta} en 900 (ver el artículo Funciones de utilidad en bienes indivisibles para más ejemplos). Hay dos problemas con estos enfoques:

1. Puede ser difícil para un participante calcular el valor numérico exacto de un conjunto de elementos.
2. El número de conjuntos posibles puede ser enorme: si hay elementos, entonces hay conjuntos posibles. Por ejemplo, si hay 16 artículos, cada participante deberá enviar sus preferencias ingresando 65536 números.

El primer problema fomenta el uso de la utilidad ordinal en lugar de la utilidad cuantitativa . En un modelo ordinal, cada participante solo tiene que mostrar una clasificación sobre diferentes conjuntos, es decir, decir qué conjunto de objetos es el mejor, cuál está en segundo lugar, etc. Esto puede ser más fácil para calcular números exactos, pero sigue siendo difícil si el número de objetos es grande.

El segundo problema a menudo se soluciona trabajando con objetos individuales en lugar de colecciones de objetos:

• Con un enfoque numérico, cada participante debe reportar una valoración numérica de cada objeto;
• Con un enfoque ordinal, cada participante debe informar la clasificación de los objetos (ordenando por valor), es decir, decir qué objeto es más valioso, cuál está en segundo lugar, etc.

Bajo algunos supuestos, es posible elevar las preferencias de objetos a preferencias de conjuntos de objetos [2] . Luego, los agentes informan sus puntajes/clasificaciones en objetos individuales y el algoritmo calcula puntajes/clasificaciones en conjuntos de objetos para los objetos.

Preferencias aditivas

Para facilitar la tarea de asignar objetos, a menudo se supone que todos los objetos son independientes (por lo tanto, no son ni intercambiables ni complementarios ) [3] . Después

• En un enfoque numérico, cada participante tiene una función de utilidad aditiva (también llamada función de utilidad modular ). Cuando un agente informa el valor de cada objeto individual, es fácil calcular el valor de un conjunto sumando los valores de sus objetos constituyentes.
• Con un enfoque ordinal, la aditividad nos permite hacer una clasificación de conjuntos. Por ejemplo, si un participante prefiere objetos en el orden w > x > y > z, entonces necesariamente preferirá {w, x} al conjunto {w, y}, o los conjuntos {x, y} y {w, y} al conjunto {x}. Estas conclusiones son solo parciales, por ejemplo, no podemos saber si el agente preferiría el conjunto {w} sobre el conjunto {x, y} o incluso el conjunto {w, z} sobre el conjunto {x, y} [4] [5] .

La aditividad implica que cada participante siempre puede elegir un "objeto preferido" del conjunto de objetos sobre la mesa, y esta elección es independiente de otros objetos que el participante ya pueda tener. Esta propiedad se utiliza en algunos algoritmos de división justa, que se describirán a continuación [6] .

Lenguajes de representación de preferencias compactos

Los lenguajes de representación de preferencias compactos se diseñaron como un compromiso entre la expresividad total de las preferencias combinatorias y la simplicidad de las preferencias aditivas. Proporcionan una representación concisa de algunas clases naturales de funciones de utilidad que son más generales que la utilidad aditiva (pero no tan generales como la utilidad combinatoria). Algunos ejemplos son [7]

• 2-Preferencias aditivas  : cada participante informa un valor para cada conjunto de tamaño 1 o 2. El valor del conjunto se calcula como la suma de los valores de los objetos individuales en el conjunto más los valores de los pares en el conjunto. Normalmente, cuando hay objetos de reemplazo, los valores de los pares serán negativos, y cuando hay objetos complementarios, los valores de los pares serán positivos. Esta idea se puede generalizar a k-preferencias aditivas para cualquier número entero positivo k .
• Modelos gráficos  : para cada participante hay un gráfico que representa las dependencias entre diferentes objetos. Con un enfoque numérico, la herramienta habitual es GAI net ( Independencia Aditiva Generalizada ) .  Con un enfoque ordinal, la herramienta habitual es CP net (preferencias condicionales, ing. Preferencias condicionales ) y sus extensiones TCP net , UCP net , CP teoría , CI net (importancia condicional, ing. Importancia condicional ) y SCI net (simplificación de CI net eng. una simplificación de CI net ).   
• Lenguajes basados ​​en lógica  : cada participante describe algunos conjuntos utilizando fórmulas lógicas de primer orden y puede asignar un valor a cada fórmula. Por ejemplo, un participante podría decir: "Para (x o (y y z)) mi valor sería 5". Esto significa que el agente asigna un valor de 5 a cualquier conjunto de: x, xy, xz, yz, xyz.
• Idiomas de licitación  : se han estudiado muchos idiomas para representar las preferencias combinatorias en el contexto de las subastas combinatorias . Algunos de estos lenguajes se pueden adaptar a las condiciones de distribución de objetos.

Criterio de justicia

Criterios de garantía individuales

Un criterio de garantía individual  es un criterio que debe cumplirse para cada participante individual si el participante indica honestamente sus preferencias. Cinco de estos criterios se presentan a continuación. Están ordenados del más débil al más fuerte (asumiendo que las estimaciones son aditivas) [8] :

1. Participación equitativa máxima-mínima ( en inglés  Max-min fair-share , MFS): la participación justa máxima-mínima (también llamada participación garantizada máxima-mínima) de un agente es el conjunto preferido que un agente puede garantizarse a sí mismo si es un partido divisorio en el protocolo Delhi-and- . Se dice que una asignación es MFS justa si cualquier agente recibe un conjunto que es ligeramente preferible a su MFS [9] . El MFS de un agente puede interpretarse como la máxima utilidad que un agente puede esperar obtener de una distribución cuando todos los demás agentes tienen las mismas preferencias, si el agente siempre obtiene la peor parte. Esto se puede considerar como la cantidad mínima de utilidad que un agente puede esperar según el siguiente razonamiento: si todos los demás agentes tienen las mismas preferencias que yo, hay al menos una distribución que me da esta utilidad y hace que todos los demás agentes ( ligeramente) más rico. Por lo tanto, no hay razón para darme menos. Esta es también la máxima utilidad de la que puede estar seguro el agente en el juego de distribución "Yo corto, elijo el último" - el agente ofrece la mejor distribución y deja que el resto de los participantes elijan sus acciones, mientras que él mismo recibe la parte restante [8] . La equidad de MFS también se puede describir como el resultado del siguiente proceso de negociación. Se sugiere alguna distribución. Cada agente puede objetar sugiriendo una partición diferente de los artículos. Sin embargo, al hacerlo, debe permitir que todos los demás agentes elijan sus acciones antes de tomar la suya. Por lo tanto, un agente solo se opondrá a una distribución si puede ofrecer una partición en conjuntos que sean todos mejores que el conjunto actual. La distribución es MFS justa si y solo si ninguno de los agentes se opone, es decir, para cualquier agente en cualquier partición, hay un conjunto que es ligeramente peor que su parte actual.

2. Parte justa proporcional ( del inglés  proporcional division fair-share , PFS) : La parte justa proporcional del agente es igual a 1/ n de utilidad de todo el conjunto de elementos. Se dice que una distribución es proporcional si todos los agentes reciben conjuntos que los agentes valoran al menos una parte proporcional justa.

3. Cuota mínima-máxima justa ( eng.  min-max-fair-share , mFS): La cuota mínima-máxima justa de un agente es igual a la utilidad mínima que el agente espera recibir de la distribución si otros agentes tienen las mismas preferencias que este agente, y si el agente siempre obtiene la mejor parte. Esta participación también es igual a la utilidad mínima que el agente puede obtener en el juego de distribución "Otro corta, yo elijo primero". Una distribución es mFS-fair si todos los agentes reciben un conjunto de objetos que prefieren ligeramente su mFS [8] . La equidad mFS se puede describir como el resultado del siguiente proceso de negociación. Se sugiere alguna distribución. Cada agente puede exigir que otro agente realice una asignación diferente al resolver, de modo que el agente que objeta elija primero. Por lo tanto, el agente se opondría a la distribución solo si hay un conjunto en todas las particiones que prefiere fuertemente sobre el conjunto actual. Una asignación es mFS-fair si y solo si ninguno de los agentes se opone a ella, es decir, para cualquier agente, existe una partición en la que todos los conjuntos son ligeramente peores que su participación actual.

Para cualquier agente con utilidad subaditiva , mFS cuesta al menos . Por lo tanto, cualquier distribución justa de mFS es proporcional. Para cualquier agente con utilidad superaditiva MFS es el mejor . Por lo tanto, cualquier distribución es MFS-justa. Ambas implicaciones son fuertes incluso cuando cualquier agente tiene utilidad aditiva . Esto se ilustra en el siguiente ejemplo [8] :

• Alice evalúa los elementos como 2, 2, 2. Para ella, MFS=PFS=mFS=2.
• Bob califica los elementos como 3, 2, 1. Para él, MFS=1, PFS=2 y mFS=3.
• Karl califica los elementos como 3, 2, 1. Para él, MFS=1, PFS=2 y mFS=3.

• Cualquier distribución que dé un tema a cada participante es una equidad MFS.
• Cualquier distribución que dé el primer y segundo elemento a Bob y Carl, y el tercer elemento a Alice, es proporcional.
• Ninguna asignación será mFS-fair.

Las conclusiones anteriores no son ciertas si las estimaciones de los agentes no son sub/superaditivas [10] .

4. Libre de envidia ( EF) :  cualquier agente prefiere su propio conjunto a cualquier otro conjunto. Cualquier distribución libre de envidia de todos los artículos es mFS-fair. Esto se sigue directamente de las definiciones ordinales y no depende de la aditividad. Si las estimaciones son aditivas, entonces la distribución EF también es proporcional y MFS-justa. De lo contrario, la distribución EF puede no ser proporcional o incluso MFS [10] . Ver Distribución de artículos envidiosos para una discusión detallada.

5. Equilibrio competitivo de Igualdad de Ingresos ( ) :  El criterio se basa en los siguientes argumentos: el proceso de distribución debe ser visto como una búsqueda de un equilibrio entre la oferta (un conjunto de objetos, cada uno de los cuales tiene una estimación disponible públicamente) y demanda (deseos de los agentes, cada agente tiene el mismo presupuesto para la compra de objetos). El equilibrio competitivo se alcanza cuando la oferta coincide con la demanda. El argumento de la equidad es simple: los precios y los presupuestos son los mismos para todos. De CEEI sigue EF independientemente de la aditividad. Si las preferencias de los agentes son aditivas y estrictas (cada conjunto tiene un valor diferente), CEEI implica eficiencia de Pareto [8] .

Recientemente se han propuesto algunos criterios de equidad [11] :

6. Envy -freeness-except-1 , EF1 :  Para dos agentes cualesquiera A y B, si eliminamos del conjunto B el elemento más importante para A, entonces A no envidia a B (en otras palabras, el "nivel de envidia" de agente A al participante B se encuentra como máximo en un objeto separado). Bajo monotonicidad, la distribución EF1 siempre existe.

7. Libre de envidia excepto el más barato ( EFx ) :  para dos agentes A y B, si eliminamos del agente B el artículo que es menos valioso para el agente A, entonces A no envidiará a B. EFx es estrictamente más fuerte que EF1. No se sabe si la distribución EFx siempre existe.

Criterio de optimalidad global

El criterio de optimalidad global realiza una partición basada en una función de bienestar social determinada :

• El bienestar social igualitario es el bienestar mínimo de un agente individual. Se dice que una distribución de artículos es óptima igualitaria si logra el máximo bienestar social igualitario posible, es decir, maximiza el bienestar para el agente más pobre. Dado que puede haber varias distribuciones diferentes que maximizan el menor bienestar, la optimalidad igualitaria a menudo se denomina leximin-óptima:  del subconjunto de distribuciones que maximizan el menor bienestar, esta distribución selecciona aquellas distribuciones que maximizan el segundo bienestar más pequeño, luego la tercera. el más mínimo bienestar, y así sucesivamente.
• El bienestar social de Nash  es el producto del bienestar de los agentes. Se dice que una distribución es Nash óptima o Nash Maximal Wealth si maximiza el producto del bienestar. Las distribuciones óptimas de Nash tienen algunas propiedades de equidad útiles [11] .

La ventaja de los criterios de optimización global sobre los criterios individuales es que las asignaciones que maximizan el bienestar son eficientes en el sentido de Pareto .

Algoritmos de distribución

Equidad Max-min-share

El problema de calcular MFS para un agente es NP-completo  ; esto se puede mostrar reduciendo el problema del problema de dividir un conjunto de números [8] .

Las asignaciones de MFS existen en la mayoría de los casos, pero no siempre. Hay casos muy raros en los que tal distribución no existe [12] .

El problema de determinar si existe una distribución MFS es , es decir, se puede resolver en un tiempo polinomial no determinista usando un predictor para un problema NP-difícil (se necesita un predictor para calcular la participación máxima-mínima del agente). Sin embargo, la complejidad computacional exacta de este problema sigue siendo desconocida [8] .

Siempre existen asignaciones que garantizan a cada participante 2/3 del valor anterior [12] . El procedimiento de distribución se implementó en el servicio web spliddit [13] .

Proporcionalidad

1. Suponga que los agentes tienen una función de utilidad numérica sobre los objetos. Entonces, el problema de si hay una distribución proporcional es un problema NP-completo  : se puede obtener por reducción del problema de dividir un conjunto de números [8] .

2. Suponga que los agentes tienen una clasificación ordinal de objetos con la presencia o ausencia de objetos idénticos (por preferencia). Entonces, el problema, si necesariamente hay una distribución proporcional, se puede resolver en tiempo polinomial: se puede obtener reduciendo el problema de verificar si un gráfico bipartito admite una coincidencia b aceptable ( una coincidencia en la que los bordes tienen capacidades) [14] .

Para dos agentes, existe un algoritmo más simple [15] .

3. Suponga que los agentes tienen una clasificación ordinal de objetos sin elementos idénticos (por preferencia). Entonces el problema de si existe una distribución necesariamente proporcional se puede resolver en tiempo polinomial. No se sabe si esto es cierto si a los agentes se les permite expresar neutralidad (es decir, demostrar que dos artículos tienen el mismo valor para él) [14] .

Equidad Min-max-share

La tarea de calcular el agente mFS es coNP-complete .

El problema de si existe una distribución mFS es , pero su complejidad computacional exacta sigue siendo desconocida [8] .

Sin envidia (sin dinero)

Falta de envidia (con dinero)

La ausencia de envidia se vuelve más fácil de lograr si se supone que las valoraciones de los agentes son casi lineales en términos monetarios y, por lo tanto, permiten la transferencia de compensación entre los agentes.

Demange, Gale y Sotomayor mostraron una subasta natural de abajo hacia arriba que produce una asignación libre de envidia mediante pagos en efectivo a un postor por un objeto (donde cada postor está interesado en un objeto como máximo) [16] .

Fair by Design es un  diseño general para problemas de optimización sin envidia que naturalmente extiende la distribución justa de objetos con pagos monetarios [17] .

Cavallo [18] generalizó los tradicionales criterios binarios de falta de envidia, proporcionalidad y eficiencia (bienestar) a medidas de grado que se encuentran en el rango de 0 a 1. Bajo las condiciones de una justa división canónica, para cualquier mecanismo de distribución efectivo , el grado de bienestar es 0 en el peor de los casos, y el grado de desproporcionalidad es 1. En otras palabras, los resultados en el peor de los casos son los peores posibles. Esto motiva fuertemente el análisis del caso promedio. Estaba buscando un mecanismo que logre un alto bienestar, pocos celos y poca desproporcionalidad en las expectativas en un espectro de entornos de distribución justa. Demostró que el mecanismo de Vickrey-Clark-Groves no es un candidato satisfactorio, pero el mecanismo de redistribución de Bailey [19] y Cavallo [20] sí lo es.

Distribución igualitaria-óptima

Con estimaciones numéricas de forma general, encontrar distribuciones óptimas igualitarias , o incluso distribuciones aproximadamente óptimas, es un problema NP-difícil. Esto se puede demostrar mediante la reducción del problema de dividir un conjunto de números . Cuanto más limitadas sean las estimaciones, mejores aproximaciones se pueden obtener [21] :

• Con utilidades aditivas, para cualquier número entero , la fracción de agentes obtiene una utilidad de al menos . Este resultado se obtiene relajando apropiadamente el problema de programación lineal y redondeando el mejor resultado posible para ese problema de programación lineal.
• Con dos clases de bienes, hay una aproximación .
• Hay una aproximación con funciones de utilidad submodulares

En el artículo de Nguyen, Ruus y Rote [22] y el artículo de N.-T. Nguyen, TT Nguyen, Ruus y Rote [23] presentan algunos resultados más sólidos.

Un caso especial de optimización igualitaria del bienestar social con utilidad aditiva se denomina "problema de Papá Noel" [24] . El problema sigue siendo NP-difícil y no se puede aproximar con un factor > 1/2, pero hay una aproximación [25] y una aproximación más complicada [26] . Véase también el artículo de Dal'Aglio y Mosca [27] para un algoritmo de ramificación y límite para dos socios.

El procedimiento de necesidad decreciente devuelve la división óptima igualitaria en el sentido habitual: maximiza el rango cuando los paquetes del agente con el rango más bajo se clasifican linealmente. Esto funciona con cualquier número de agentes y cualquier orden de paquetes.

Distribuciones que son óptimas de Nash

En el artículo de Nguyen, Ruus y Rote [22] y en el artículo de N.-T. Nguyen, TT Nguyen, Ruus y Rote [23] demostraron la dificultad de calcular distribuciones utilitarias y óptimas de Nash.

Nguyen y Rote [28] presentaron un procedimiento de aproximación para las distribuciones óptimas de Nash.

Secuencia de muestra

La secuencia de selección es un protocolo simple en el que los agentes se turnan para seleccionar artículos en función de un orden predeterminado. El objetivo es diseñar una secuencia de muestreo para maximizar el valor esperado de la función de bienestar social (por ejemplo, igualitaria o utilitaria) bajo algunos supuestos probabilísticos sobre las estimaciones de los agentes.

Varias acciones

La mayoría de las investigaciones sobre la asignación de elementos supone que todos los agentes tienen partes iguales. Sin embargo, en muchos casos hay agentes con distintas participaciones. Uno de esos casos es la división del Gabinete de Ministros por partidos. A menudo se supone que cada partido debería recibir un número de ministerios en proporción al número de escaños en el parlamento. Ver el artículo de Brahms y Kaplan [29] , Aziz [30] y el artículo de Segala-Helevy [31] para una discusión de este problema y algunas de sus soluciones.

Notas

1. ↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , pág. 285.
2. ↑ Barbera, Bossert, Pattanaik, 2004 , p. 44–48.
3. ↑ Bouveret, Endriss, Lang, 2010 .
4. ↑ Brams, Edelman, Fishburn, 2003 , pág. 147.
5. ↑ Brams, 2005 , pág. 387–421.
6. ↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , pág. 287-288.
7. ↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , pág. 289-294.
8. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bouveret, Lemaître, 2015 , pág. 259.
9. ↑ Budish, 2011 , pág. 1061-1103.
10. ↑ 1 2 Heinen, Nguyen, Rothe, 2015 , pág. 521.
11. ↑ 1 2 Caragiannis, Kurokawa y Moulin, 2016 , p. 305.
12. ↑ 1 2 Procaccia, Wang, 2014 , pág. 675–692.
13. ↑ Dividir Bienes-Splidit . Consultado el 15 de octubre de 2019. Archivado desde el original el 19 de octubre de 2019. (indefinido)
14. ↑ 1 2 Aziz, Gaspers, MacKenzie, Walsh, 2015 , pág. 71–92.
15. ↑ Pruhs, Woeginger, 2012 , pág. 305.
16. ↑ Demange, Gale, Sotomayor, 1986 , p. 863–872.
17. ↑ Mu'alem, 2014 , pág. 29–46.
18. ↑ Cavallo, 2012 .
19. ↑ Bailey, 1997 , pág. 107–126.
20. ↑ Cavallo, 2006 , p. 882.
21. ↑ Daniel Golovin. Asignación justa max-min de bienes indivisibles . CMU (2005). Consultado el 27 de agosto de 2016. Archivado desde el original el 2 de febrero de 2017. (indefinido)
22. ↑ 1 2 Nguyen, Roos, Rothe, 2013 , pág. 65–90.
23. ↑ 1 2 Nguyen, Nguyen, Roos, Rothe, 2013 .
24. ↑ Bansal, Sviridenko, 2006 , pág. 31
25. ↑ Bezaková, Dani, 2005 , p. once.
26. ↑ Asadpour, Saberi, 2010 , pág. 2970.
27. ↑ Dall'Aglio, Mosca, 2007 , p. 218.
28. ↑ Nguyen, Rothe, 2013 .
29. ↑ Brams, Kaplan, 2004 , pág. 143.
30. ↑ Aziz, Haris; Gaspers, Serge; Mackenzie, Simon & Walsh, Toby (2017), Equilibrio competitivo con bienes indivisibles y presupuestos genéricos, arΧiv : 1703.08150 [cs.GT]. 
31. ↑ Segal-Halevi, 2018 , pág. 1267-1275.

Literatura

• Sylvain Bouveret, Yann Chevaleyre, Nicolás Maudet. Capítulo 12: Asignación justa de bienes indivisibles // Manual de elección social computacional / Felix Brandt, Vincent Conitzer, Ulle Endriss, Jérôme Lang, Ariel D. Procaccia. - Cambridge University Press, 2016. - ISBN 9781107060432 .
• Barberà S., Bossert W., Pattanaik PK Clasificación de conjuntos de objetos. // Manual de teoría de la utilidad. — Springer EE. UU., 2004.
• Sylvain Bouveret, Ulle Endriss, Jérôme Lang. División justa bajo preferencias ordinales: computación de asignaciones de bienes indivisibles sin envidia // Actas de la conferencia de 2010 sobre ECAI 2010: 19.ª Conferencia europea sobre inteligencia artificial . — 2010.
• Steven J. Brams, Paul H. Edelman, Peter C. Fishburn. División Justa de Elementos Indivisibles // Teoría y Decisión. - 2003. - T. 55 , núm. 2 . -doi : 10.1023/B : THEO.0000024421.85722.0a .
• Brams SJ División justa eficiente: ¿ayudar a los que están en peor situación o evitar la envidia? // Racionalidad y Sociedad. - 2005. - T. 17 , núm. 4 . -doi : 10.1177/ 1043463105058317 .
• Sylvain Bouveret, Michel Lemaître. Caracterización de conflictos en la justa división de bienes indivisibles mediante una escala de criterios // Agentes Autónomos y Sistemas Multiagente. - 2015. - T. 30 , núm. 2 . -doi : 10.1007/ s10458-015-9287-3 .
• Tobias Heinen, Nhan-Tam Nguyen, Jörg Rothe. Equidad y utilitarismo ponderado por rango en la asignación de recursos // Teoría de la decisión algorítmica. - 2015. - T. 9346. - (Apuntes de cátedra en Informática). — ISBN 978-3-319-23113-6 . -doi : 10.1007 / 978-3-319-23114-3_31 .
• Trung Thanh Nguyen, Jörg Rothe. Envy-ratio y media-nuestra optimización del bienestar social en la asignación de recursos multiagente. — AMAS 13, 2013.
• Ioannis Caragiannis, David Kurokawa, Herve Moulin, Ariel D. Procaccia, Nisarg Shah, Junxing Wang. La justicia irrazonable del máximo bienestar de Nash // Actas de la Conferencia ACM de 2016 sobre economía y computación - EC '16 . - 2016. - ISBN 9781450339360 . -doi : 10.1145/ 2940716.2940726 .
• Haris Aziz, Serge Gaspers, Simon MacKenzie, Toby Walsh. Asignación justa de objetos indivisibles bajo preferencias ordinales // Inteligencia Artificial. - 2015. - T. 227 . -doi : 10.1016/ j.artint.2015.06.002 . - arXiv : 1312.6546 .
• Kirk Pruhs, Gerhard J. Woeginger. Divorciarse de forma fácil // Diversión con algoritmos. - 2012. - T. 7288. - (Apuntes de cátedra en Informática). - ISBN 978-3-642-30346-3 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-30347-0_30 .
• Ruggiero Cavallo. Equidad y bienestar a través de la redistribución cuando la utilidad es transferible . — AAAI-12, 2012.
• Martín J. Bailey. El proceso de revelación de la demanda: Distribuir el excedente // Elección Pública. - 1997. - T. 91 , núm. 2 . -doi : 10.1023/A : 1017949922773 .
• Ruggiero Cavallo. Toma de decisiones óptima con desperdicio mínimo // Actas de la quinta conferencia internacional conjunta sobre agentes autónomos y sistemas multiagente - AAMAS '06. - 2006. - ISBN 1595933034 . -doi : 10.1145/ 1160633.1160790 .
• Trung Thanh Nguyen, Magnus Roos, Jörg Rothe. Una encuesta de resultados de aproximación e inaproximabilidad para la optimización del bienestar social en la asignación de recursos de múltiples agentes // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. - 2013. - T. 68 , núm. 1–3 . -doi : 10.1007/ s10472-012-9328-4 .
• Nhan-Tam Nguyen, Trung Thanh Nguyen, Magnus Roos, Jörg Rothe. Complejidad computacional y aproximabilidad de la optimización del bienestar social en la asignación de recursos multiagente // Agentes Autónomos y Sistemas Multiagente. - 2013. - T. 28 , núm. 2 . -doi : 10.1007/ s10458-013-9224-2 .
• Nikhil Bansal, Maxim Sviridenko. El problema de Santa Claus // Actas del trigésimo octavo simposio anual de ACM sobre teoría de la computación - STOC '06. - 2006. - ISBN 1595931341 . -doi : 10.1145/ 1132516.1132522 .
• Ivona Bezakova, Varsha Dani. Asignación de bienes indivisibles // Intercambios ACM SIGecom. - 2005. - V. 5 , núm. 3 . -doi : 10.1145/ 1120680.1120683 .
• Arash Asadpour, Amin Saberi. Un algoritmo de aproximación para la asignación justa máxima-mínima de bienes indivisibles // SIAM Journal on Computing. - 2010. - T. 39 , núm. 7 . -doi : 10.1137/ 080723491 .
• Marco Dall'Aglio, Raffaele Mosca. Cómo asignar caramelos duros de manera justa // Ciencias Sociales Matemáticas. - 2007. - T. 54 , núm. 3 . -doi : 10.1016/ j.mathsocsci.2007.04.008 .
• Steven J. Brams, Todd R. Kaplan. Dividiendo lo Indivisible // Revista de Política Teórica. - 2004. - T. 16 , núm. 2 . -doi : 10.1177/ 0951629804041118 .
• Erel Segal-Halevi. Equilibrio competitivo para casi todos los ingresos // Procedimientos de AAMAS 2018. - Fundación Internacional para Agentes Autónomos y Sistemas Multiagente, 2018.
• Gabrielle Demange, David Gale, Marilda Sotomayor. Subastas de artículos múltiples // Revista de economía política. - 1986. - T. 94 , núm. 4 . -doi : 10.1086/ 261411 . . _
• Ahuva Mu'alem. Feria por diseño: mecanismos multidimensionales sin envidia // Juegos y comportamiento económico. - 2014. - T. 88 . -doi : 10.1016/ j.geb.2014.08.001 .
• Budish E. El problema de asignación combinatoria: equilibrio competitivo aproximado a partir de ingresos iguales // Revista de economía política. - 2011. - T. 119 , núm. 6 _ -doi : 10.1086/ 664613 .
• Ariel D. Procaccia, Junxing Wang. Bastante justo: garantizando acciones máximas aproximadas. — EC '14 Actas de la Decimoquinta Conferencia ACM sobre Economía y Computación. - 2014. - ISBN 9781450325653 . -doi : 10.1145/ 2600057.2602835 .