Ley del logaritmo iterado

La ley del logaritmo iterado es la ley límite de la teoría de la probabilidad . El teorema determina el orden de crecimiento del divisor de una secuencia de sumas de variables aleatorias, bajo las cuales esta secuencia no converge a cero, sino que permanece casi en todas partes en límites finitos.

Para el caso de una secuencia de sumas de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución con dos valores, el teorema fue demostrado por A. Ya. Khinchin en 1924 [1] [2] . El primer teorema general del tipo fue demostrado por A. N. Kolmogorov en 1929 [3] [4] .

Teorema

Sean variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas con esperanza matemática cero y varianza unitaria . Vamos Entonces casi seguro : ${Y_{n}}$ $S_{n}=Y_{1}+\puntos +Y_{n}.$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}={\sqrt {2}},

\liminf_{n\to \infty}}{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}=-{\sqrt {2}},

donde es el logaritmo natural de , es el límite superior de , es el límite inferior de . $\ln$ $\limsup$ $\liminf$

Generalizaciones y adiciones

V. Feller [5] estudió las generalizaciones de la ley del logaritmo iterado de Kolmogorov para secuencias de variables aleatorias distribuidas desigualmente acotadas e independientes . F. Strassen [6] dio una generalización para la convergencia funcional . También probó [7] que si es una secuencia de variables aleatorias independientes que tienen la misma distribución con varianza infinita, entonces $Y_{n}$

\limsup _{n\to \infty }{\frac {|S_{n}|}{\sqrt {n\ln \ln n))}=\infty .

Relación con otros teoremas de límite

La ley del logaritmo iterado es intermedia entre la ley de los grandes números y el teorema del límite central . La ley de los grandes números existe en dos versiones: débil y fortalecida , argumentan que las sumas con un divisor tienden a cero, respectivamente, en probabilidad y casi con certeza : $S_{n}$ $norte$

{\frac {S_{n}}{n}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0,\quad {\frac {S_{n}}{n}}\longrightarrow 0

casi seguro en

n\to \infty .

El teorema del límite central establece que las sumas de divisores convergen a la distribución normal estándar , y esta secuencia de sumas no converge a ninguna cantidad en particular ni en probabilidad ni casi con certeza , sino que se desvía indefinidamente. $S_{n}$ ${\ sqrt n}$

El divisor en la ley del logaritmo iterado conduce a diferentes resultados de convergencia en probabilidad y casi seguro :

{\frac {S_{n}}{\sqrt {n\ln \ln n}}}{\stackrel {\mathbb {P} }{\longrightarrow }}0

y tiende a nada, casi seguro en .

n\to\infty

Así, aunque el valor será menor que cualquiera dado con una probabilidad tendiendo a uno, se acercará a cualquier punto del segmento lo más cerca que quiera casi seguro que un número infinito de veces . $S_{n}/{\sqrt {n\ln \ln n))$ $\varepsilon >0$ $[-{\raíz cuadrada 2},{\raíz cuadrada 2}]$

Notas

↑ Khinchin A. Ya., “Fundam. matemáticas.", 1924, v. 6, pág. 9–20.
↑ Khinchin A. Ya. "Leyes básicas de la teoría de la probabilidad" Copia de archivo fechada el 23 de noviembre de 2012 en Wayback Machine , 1932.
↑ Kolmogorov A.N., “Matemáticas. Ann.", 1929, Bd 101, S. 126–135.
↑ Ley del logaritmo iterado - Artículo de la Enciclopedia de Matemáticas .
↑ W. Feller, "La forma general de la llamada ley del logaritmo iterado" Trans. amer Matemáticas. soc. , 54 (1943) págs. 373–402.
↑ V. Strassen, "Un principio de invariancia para la ley del logaritmo iterado" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 3 (1964) págs. 211–226.
↑ V. Strassen, "A la inversa de la ley del logaritmo iterado" Z. Wahrsch. Verw. Geb. , 4 (1965-1966) págs. 265–268.