Logaritmo natural

El logaritmo natural es el logaritmo en base e , donde es una constante irracional de aproximadamente 2,72. Se denota como , o a veces simplemente si la base está implícita [1] . Por lo general, el número bajo el signo del logaritmo es real , pero este concepto se puede extender a los números complejos . $mi$ $\ln x$ ${\ estilo de visualización \ log _ {e} x}$ $\log x$ $mi$ $X$

De la definición se deduce que la dependencia logarítmica es una función inversa para el exponente , por lo que sus gráficas son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (ver la figura de la derecha). Al igual que la exponencial, la función logarítmica pertenece a la categoría de funciones trascendentales . ${\ estilo de visualización y = e ^ {x}}$

Los logaritmos naturales son útiles para resolver ecuaciones algebraicas , en las que la incógnita está presente como exponente, son indispensables en cálculo . Por ejemplo, los logaritmos se utilizan para encontrar la constante de desintegración de una vida media conocida de una sustancia radiactiva . Desempeñan un papel importante en muchas áreas de las matemáticas y las ciencias aplicadas, se utilizan en el campo de las finanzas para resolver diversos problemas (por ejemplo, encontrar el interés compuesto ).

Definición

El logaritmo natural de un número es el exponente al que debe elevarse e para obtener . En otras palabras, el logaritmo natural es la solución de la ecuación $a$ $a$ ${\ estilo de visualización \ ln a}$ $X$ $e^{x}=a.$

Ejemplos:

{\ estilo de visualización \ ln e = 1}

porque ;

e^{1}=e

{\ estilo de visualización \ ln 1 = 0}

, porque .

{\ estilo de visualización e ^ {0} = 1}

Logaritmo natural real

El logaritmo natural de un número real es definido y único para cualquier número positivo ${\ estilo de visualización \ ln a}$ $a$ $una.$

El logaritmo natural también puede definirse geométricamente para cualquier número real positivo a como el área bajo la curva en el intervalo . La simplicidad de esta definición, que es consistente con muchas otras fórmulas que usan este logaritmo, explica el origen del nombre "natural". $y={\frac{1}{x}}$ ${\ estilo de visualización [1; un]}$

Propiedades

De la definición del logaritmo se sigue la identidad logarítmica básica [2] :

e^{\ln a}=a

Aquí hay un resumen de las fórmulas, asumiendo que todos los valores son positivos [3] :

	Fórmula	Ejemplo
Trabajar	${\ estilo de visualización \ ln (xy) = \ ln x + \ ln y}$	${\ estilo de visualización \ ln (4 \ cdot 3) = \ ln 4+ \ ln 3}$
Privado	$\ln \left({\frac {x}{y))\right)=\ln x-\ln y$	$\ln \left({\frac {1}{e^{2}}}\right)=\ln(1)-\ln(e^{2})=0-2=-2$
La licenciatura	${\ estilo de visualización \ ln (x ^ {p}) = p \ ln x}$	${\ estilo de visualización \ ln (64) = \ ln (2 ^ {6}) = 6 \ ln 2}$
Raíz	$\ln {\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\ln x}{p}}$	$\ln {\sqrt {10}}={\frac {1}{2}}\ln 10$

Otras propiedades:

La igualdad de dos logaritmos reales implica la igualdad de expresiones logarítmicas.
A medida que aumenta el argumento, también lo hace el logaritmo: si entonces ${\ estilo de visualización 0 <x <y,}$ ${\ estilo de visualización \ ln x<\ ln y.}$
${\frac {h}{1+h}}\leqslant \ln(1+h)\leqslant h,$ si ${\ estilo de visualización h>-1.}$

Conexión con logaritmos en diferente base

El logaritmo se puede definir para cualquier base positiva que no sea , no solo para , pero los logaritmos para otras bases difieren del logaritmo natural solo por un factor constante. $una$ $mi$

El logaritmo en base se puede convertir [4] al logaritmo natural y viceversa: $\log _{a}b$ $a$

\ln b={\frac {\log _{a}b}{\log _{a}e))=\log _{a}b\cdot \ln a

\log _{a}b={\frac {\ln b}{\ln a))

Relación entre logaritmos decimales ( ) y naturales [5] : $\lgx$

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x;\quad \lg x\approx 0{,}43429\ \ln x

Relación entre logaritmos binarios ( ) y naturales: ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {lb} x}$

\ln x\approx 0.693147\operatorname {lb} x;\quad \operatorname {lb} x\approx 1{,}442695\ln x

Función logarítmica

Si consideramos un número logarítmico como variable, obtenemos una función logarítmica . Se define en . Rango de valores: . Esta curva a menudo se llama logaritmo [6] . De la fórmula para cambiar la base del logaritmo , se puede ver que las gráficas de funciones logarítmicas con diferentes bases mayores que uno difieren entre sí solo por la escala a lo largo del eje ; Los gráficos para bases menores que uno son su imagen especular sobre el eje horizontal. $y=\nx$ $x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

La función es estrictamente creciente, es continua e ilimitadamente diferenciable en todas partes en su dominio de definición.

El eje y ( ) es la asíntota vertical porque: $x=0$

\lim _{x\to 0+}\ln x=-\infty

La derivada de la función logarítmica natural es:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

La simplicidad de esta fórmula es una de las razones del uso generalizado del logaritmo natural en el análisis y en la resolución de ecuaciones diferenciales .

Habiendo integrado la fórmula de la derivada en el rango de a , obtenemos: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

En otras palabras, el logaritmo natural es igual al área bajo la hipérbola para el intervalo especificado . ${\ estilo de visualización \ ln {b))$ $y={\frac{1}{x}}$ ${\ estilo de visualización [1, b]}$

Desde el punto de vista del álgebra general , la función logarítmica implementa el (único posible) isomorfismo entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el grupo aditivo de todos los números reales. En otras palabras, la función logarítmica es la única (definida para todos los valores positivos del argumento) solución continua de la ecuación funcional [7] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Propiedades analíticas de la función

De la fórmula de la derivada del logaritmo natural se deduce que la antiderivada de una hipérbola tiene la forma: $y=1/x$

\int {dx \over x}=\ln |x|+C,

donde es una constante de integración arbitraria. Dado que la función consta de dos ramas (una para positivo, la otra para negativo ), la familia de antiderivadas para también consta de dos subfamilias, y sus constantes de integración son independientes entre sí. $C$ $y=1/x$ $X$ $y=1/x$

La integral indefinida del logaritmo natural es fácil de encontrar por integración por partes :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

En el análisis matemático y la teoría de ecuaciones diferenciales , el concepto de derivada logarítmica de una función juega un papel importante : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Métodos para calcular el logaritmo

Desarrollamos el logaritmo natural en una serie de Taylor cercana a la unidad:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\puntos

(Fila 1)

Esta serie, llamada " serie de Mercator ", converge en . En particular: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\puntos

La fórmula de la serie 1 no es adecuada para el cálculo práctico de logaritmos debido a que la serie converge muy lentamente y solo en un intervalo estrecho. Sin embargo, no es difícil obtener de él una fórmula más conveniente:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac{x^{7}}{7}}+\puntos\derecha)

(Fila 2)

Esta serie converge más rápido, y además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo , porque entonces el valor absoluto es menor que uno. Este algoritmo ya es adecuado para cálculos numéricos reales de valores logarítmicos, sin embargo, no es el mejor en términos de intensidad de trabajo. $z={\frac{1+x}{1-x}}$ $x={\frac{z-1}{z+1))$

Para calcular el logaritmo natural con muchos dígitos de precisión, la serie de Taylor no es eficiente porque su convergencia es lenta. Una alternativa es utilizar el método de Newton para invertir en una función exponencial, cuya serie converge más rápido.

Una alternativa para una precisión de cálculo muy alta es la fórmula: [8] [9] :

\ln x\approx {\frac {\pi }{2M(1,4/s)))-m\ln 2

donde denota la media aritmético-geométrica de 1 y 4/s, y $METRO$

s=x\,2^{m}>2^{{p/2}},

m se elige de modo que se logren p dígitos de precisión. (En la mayoría de los casos, un valor de 8 para m es suficiente). De hecho, si se usa este método, la inversión de Newton del logaritmo natural se puede aplicar para calcular de manera eficiente la función exponencial. Las constantes ln 2 y pi se pueden precalcular con la precisión deseada utilizando cualquiera de las series conocidas de rápida convergencia.

La complejidad computacional de los logaritmos naturales (utilizando la media aritmético-geométrica) es O( M ( n ) ln n ). Aquí n es el número de dígitos de precisión para los que se debe evaluar el logaritmo natural, y M ( n ) es la complejidad computacional de multiplicar dos números de n dígitos.

Límites útiles

Aquí hay algunos límites útiles relacionados con los logaritmos [10] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1

\lim _{x\to 0+}x^{b}\ln x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\derecha)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Trascendencia

El siguiente corolario se deriva del teorema de Lindemann-Weierstrass (1885): si el argumento es un número algebraico distinto de uno, entonces el valor no es solo un número irracional , sino también un número trascendental [11] . $X$ $\ln x$

Fracciones continuas

Aunque no existen fracciones continuas clásicas para representar el logaritmo , se pueden usar varias "fracciones continuas generalizadas", que incluyen:

\ln(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3} {3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\puntos ={\cfrac {x}{1-0\ cpunto x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1\cpunto x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+ {\cfrac {4^{2}x}{5-4x+\ddots ))))))))))))

\ln \left(1+{\frac {2x}{y}}\right)={\cfrac {2x}{y+{\cfrac {x}{1+{\cfrac {x}{3y+{ \cfrac {2x}{1+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{1+\ddots )))))))))))))={\cfrac {2x}{y+ x -{\cfrac {(1x)^{2}}{3(y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(y+x)-{\cfrac {(3x)^ { 2}}{7(y+x)-\ddots }}}}}}}}

Historia

Por primera vez, los logaritmos naturales en el sentido moderno aparecieron en 1619, cuando el profesor de matemáticas de Londres John Speidel volvió a publicar las tablas logarítmicas de Napier, corregidas y complementadas para que realmente se convirtieran en tablas de logaritmos naturales [12] . En 1649, el matemático belga Grégoire de Saint-Vincent demostró que el área bajo una hipérbola varía según una ley logarítmica, y sugirió llamar a este tipo de logaritmo "hiperbólico" [13] . $y={\frac{1}{x}}$

El término "logaritmo natural" fue introducido por Pietro Mengoli (1659) y Nicholas Mercator en la obra fundamental "Logarithmotechnia" (1668) [14] [15] . En el mismo lugar, Mercator describió la expansión del logaritmo natural en la " serie de Mercator ".

Los primeros intentos de extender los logaritmos a los números complejos se realizaron entre los siglos XVII y XVIII por Leibniz y Johann Bernoulli , pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto del logaritmo en sí aún no estaba claro. definido [16] . La discusión sobre este tema fue primero entre Leibniz y Bernoulli, ya mediados del siglo XVIII entre d'Alembert y Euler . Bernoulli y D'Alembert creían que se debía definir , mientras que Leibniz defendía que el logaritmo de un número negativo es un número imaginario [16] . La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no difiere de la moderna [17] . $\registro(-x)=\registro(x)$

Logaritmos complejos

El logaritmo complejo es una función analítica que se obtiene extendiendo el logaritmo real a todo el plano complejo (excepto cero). A diferencia del caso real, la función de logaritmo complejo es multivaluada .

Definición . El logaritmo natural de un número complejo es [6] una solución a la ecuación $\mathrm {Ln} \,z$ $z$ $w$ $e^{w}=z.$

Un número distinto de cero se puede expresar en forma exponencial: $z$

z=r\cdot e^{{i(\varphi +2\pi k)}}\;\;,

donde es un entero arbitrario

k

Entonces se encuentra por la fórmula [18] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Aquí está el logaritmo real. De esto se sigue: $\ln \,r=\ln \,|z|$

El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene una infinidad de valores que difieren en un múltiplo entero $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2 \ pi .$

Se puede ver en la fórmula que uno y solo uno de los valores tiene una parte imaginaria en el intervalo . Este valor se denomina valor principal del logaritmo natural complejo [6] . La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama la rama principal del logaritmo y se denota . Si es un número real, entonces el valor principal de su logaritmo coincide con el logaritmo real habitual. ${\ estilo de visualización (- \ pi, \ pi]}$ $\ln\,z$ $z$

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula [18] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Ejemplos:

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Debe tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que tienen varios valores y, por lo tanto, la igualdad de estas expresiones no se deriva de la igualdad de los logaritmos de ninguna expresión. Un ejemplo de razonamiento erróneo :

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

es un error evidente.

Tenga en cuenta que el valor principal del logaritmo está a la izquierda y el valor de la rama subyacente ( ) está a la derecha. La razón del error es el uso descuidado de la propiedad , que, en términos generales, en el caso complejo implica todo el conjunto infinito de valores del logaritmo, y no solo el valor principal. $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

Funciones de logaritmo natural en el plano complejo (rama principal)
$z=Re(\ln(x+iy))|$
$z=Im(\ln(x+iy))|$
${\ estilo de visualización z = | \ ln (x + iy) |}$
Superposición de los tres gráficos anteriores

La función del logaritmo natural de un número complejo también se puede definir como la continuación analítica del logaritmo real en todo el plano complejo excepto cero. Deje que la curva comience en uno, termine en z, no pase por cero y no cruce la parte negativa del eje real. Entonces, el valor principal del logaritmo en el punto final de la curva se puede determinar mediante la fórmula [19] : $\Gama$ $w$ $\Gama$

\ln z=\int \limits _{\Gamma }{du \over u}

Algunas aplicaciones

Teoría de números

La distribución de los números primos obedece asintóticamente a leyes simples [20] :

El número de números primos entre 1 y aproximadamente es igual a . $norte$ ${\frac{n}{\lnn))$
k -ésimo primo es aproximadamente igual a . $k\ln k$

Análisis matemático

Los logaritmos a menudo surgen cuando se encuentran integrales y cuando se resuelven ecuaciones diferenciales . Ejemplos:

\int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Teoría de la probabilidad y estadística

En estadística y teoría de la probabilidad, el logaritmo se incluye en varias distribuciones de probabilidad importantes en la práctica. Por ejemplo, la distribución logarítmica [21] se usa en genética y física. La distribución lognormal a menudo ocurre en situaciones donde el valor bajo estudio es el producto de varias variables aleatorias positivas independientes [22] .

Para estimar un parámetro desconocido, el método de máxima verosimilitud y la función logarítmica de verosimilitud asociada [23] son ampliamente utilizados .

Las fluctuaciones en un paseo aleatorio se describen mediante la ley de Khinchin-Kolmogorov .

Fractales y dimensiones

Los logaritmos ayudan a expresar la dimensión de Hausdorff de un fractal [24] . Por ejemplo, considere el triángulo de Sierpinski , que se obtiene a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación sucesiva de triángulos similares, el tamaño lineal de cada uno de los cuales se reduce a la mitad en cada etapa (ver figura). La dimensión del resultado está determinada por la fórmula:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\aprox. 1{,}58

Mecánica y física

El principio de Boltzmann en termodinámica estadística es una de las funciones más importantes del estado de un sistema termodinámico , caracterizando el grado de su aleatoriedad .

La fórmula de Tsiolkovsky se utiliza para calcular la velocidad de un cohete.

Química y química física

La ecuación de Nernst conecta el potencial redox del sistema con las actividades de las sustancias incluidas en la ecuación electroquímica, así como con los potenciales de electrodo estándar de los pares redox.

El logaritmo se usa en las definiciones de cantidades tales como el índice de la constante de autoprotólisis (autoionización de la molécula) y el índice de hidrógeno (acidez de la solución).

Psicología y fisiología

La percepción humana de muchos fenómenos está bien descrita por la ley logarítmica.

La ley de Weber-Fechner es una ley psicofisiológica empírica , que establece que la intensidad de la sensación es proporcional al logaritmo de la intensidad del estímulo [25] - el volumen del sonido [26] , el brillo de la luz.

Ley de Fitt : cuanto más lejos o con mayor precisión se realiza el movimiento del cuerpo, más corrección es necesaria para su ejecución y más tiempo se realiza esta corrección [27] .

El tiempo para tomar una decisión en presencia de una elección se puede estimar según la ley de Hick [28] .

Notas

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Literatura

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Enlaces

" Desmitificando el logaritmo natural Archivado el 26 de septiembre de 2013 en Wayback Machine " Desmitificando el logaritmo natural (ln) | Mejor explicado _

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