Ley de desplazamiento de Wien

La ley de desplazamiento de Wien es una ley física que establece la dependencia de la longitud de onda , en la que la densidad espectral del flujo de radiación del cuerpo negro alcanza su máximo, de la temperatura del cuerpo negro.

Wilhelm Wien derivó por primera vez esta ley en 1893 al aplicar las leyes de la termodinámica a la radiación electromagnética . También se observó experimentalmente el cambio correspondiente del pico de intensidad con la temperatura. Actualmente, la ley de desplazamiento de Wien se puede derivar matemáticamente de la ley de Planck .

Vista general de la ley de desplazamiento de Wien

La ley se expresa mediante la fórmula

\lambda_{\text{max}}=b/T,

donde es la longitud de onda de la radiación con máxima intensidad, y es la temperatura. El coeficiente (donde c es la velocidad de la luz en el vacío , h es la constante de Planck , k es la constante de Boltzmann , α ≈ 4.965114… es una constante, la raíz de la ecuación ), llamado constante de Wien , en el Sistema Internacional de Unidades (SI) tiene un valor de 0.002898 m K. _ _ ${\ estilo de visualización \ lambda _ {\ texto {máx}}}$ $T$ ${\ Displaystyle b = {\ frac {ch} {k \ alfa}}}$ ${\ estilo de visualización \ alfa / 5 = 1-e ^ {- \ alfa}}$

Para la frecuencia de la luz (en hercios ), la ley de desplazamiento de Wien tiene la forma $\nu$

\nu _{\text{max}}={\frac {\alpha }{h}}kT\approx 5{,}879\times 10^{10}\cdot T,

donde α ≈ 2.821439… es un valor constante (raíz de la ecuación ), k es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck , T es la temperatura (en kelvins ). ${\ estilo de visualización \ alfa / 3 = 1-e ^ {- \ alfa}}$

La diferencia en las constantes numéricas aquí se debe a la diferencia entre los exponentes en la distribución de Planck escrita para la longitud de onda y la frecuencia de la radiación: en un caso entra , en el otro - . Esta diferencia, a su vez, surge de la no linealidad de la relación entre frecuencia y longitud de onda: ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {-5}}$ ${\displaystyle \omega^{3}\sim\lambda^{-3))$

\omega ={\frac {2\pi c}{\lambda )),\quad {\frac {d}{d\omega ))=-{\frac {\lambda ^{2)){2 \pi c}}{\frac {d}{d\lambda}}.

Derivación de la ley

Para la conclusión, puede usar la expresión de la ley de radiación de Planck para la emisividad de un cuerpo absolutamente negro , escrita para longitudes de onda : ${\ estilo de visualización \ varepsilon _ {\ lambda} (\ lambda, T)}$

\varepsilon _{\lambda }={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{5}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}- una}}.

Para encontrar los extremos de esta función en función de la longitud de onda, se debe diferenciar por e igualar la derivada a cero : $\lambda$

{\frac {\parcial \varepsilon _{\lambda }}{\parcial \lambda }}={\frac {2\pi hc^{2}}{\lambda ^{6}}}{\frac {1}{e^{hc/\lambda kT}-1}}\left({\frac {hc}{kT\lambda }}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left( e^{hc/\lambda kT}-1\right)}}-5\right)=0.

A partir de esta fórmula, puedes determinar de inmediato que la derivada tiende a cero cuando o cuando , lo cual es cierto para . Sin embargo, ambos casos dan el mínimo de la función de Planck , que llega a cero para las longitudes de onda dadas (ver la figura anterior). Por lo tanto, el análisis debe continuarse solo con el tercer caso posible, cuando $\lambda \to \infty$ $e^{hc/\lambda kT}\to\infty$ $\lambda \a 0$ $B(\lambda)$

{\frac {hc}{kT\lambda}}{\frac {e^{hc/\lambda kT}}{\left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)))- 5=0.

Usando el cambio de variables , esta ecuación se puede transformar a la forma ${\ Displaystyle x = {\ frac {hc} {kT \ lambda}}}$

{\frac{xe^{x}}{e^{x}-1}}-5=0.

La solución numérica de esta ecuación da [1]

x=4{,}965114231744276\ldots

Así, utilizando el cambio de variables y los valores de las constantes de Planck , Boltzmann y la velocidad de la luz , podemos determinar la longitud de onda a la que la intensidad de radiación de un cuerpo negro alcanza su máximo:

\lambda_{\text{max}}={\frac {hc}{x}}{\frac {1}{kT}}={\frac {2{,}89776829\ldots \times 10^ {-3}}{T}},

donde la temperatura está en kelvins y está en metros . ${\ estilo de visualización \ lambda _ {\ texto {máx}}}$

Ejemplos

De acuerdo con la ley de desplazamiento de Wien, un cuerpo negro con una temperatura corporal humana (~310 K ) tiene una radiación térmica máxima en una longitud de onda de aproximadamente 10 µm , que corresponde al rango infrarrojo del espectro.

La radiación reliquia tiene una temperatura efectiva de 2,7 K y alcanza su máximo a una longitud de onda de 1 mm . En consecuencia, esta longitud de onda ya pertenece al rango de radio .

Véase también

Notas

↑ La solución de una ecuación no se puede expresar usando funciones elementales. Su solución exacta se puede encontrar usando la función W de Lambert , pero en este caso es suficiente usar una solución aproximada. ${\frac{xe^{x}}{e^{x}-1}}=n$

Enlaces

El mundo de la física de Eric Weistein
Soffer, BH; Lynch, DK Algunas paradojas, errores y resoluciones sobre la optimización espectral de la visión humana // American Journal of Physics : revista. - 1999. - vol. 67 , núm. 11 _ - Pág. 946-953 . -doi : 10.1119/ 1.19170 . — .
Heald, MA ¿Dónde está el 'pico Wien'? (Inglés) // American Journal of Physics . - 2003. - vol. 71 , núm. 12 _ - P. 1322-1323 . -doi : 10.1119/ 1.1604387 . - .

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