Correspondencia de Galois

La correspondencia de Galois ( conexión de Galois ) es una relación teórica de orden entre dos estructuras matemáticas , más débil que el isomorfismo , que generaliza la conexión de la teoría de Galois entre subcampos de una extensión y un sistema ordenado por inclusión de subgrupos del correspondiente grupo de Galois . El concepto puede extenderse a cualquier estructura dotada de una relación de preorden .

El concepto fue introducido por Garrett Birkhoff en 1940, y él y Oystin Ore establecieron las propiedades básicas en la década de 1940 [1] . La definición inicial es antimonótono , más tarde tanto en álgebra general como en aplicaciones , la definición monótona , alternativa y dual a ella en el sentido categorial-teórico , comenzó a utilizarse con más frecuencia .

El cierre de Galois es una operación que es un cierre formado por la composición de los componentes de la correspondencia de Galois; en el caso antimonótono, ambas posibles composiciones de las funciones de correspondencia forman clausuras, en el caso monótono, sólo una de tales composiciones.

La correspondencia de Galois es ampliamente utilizada en aplicaciones, en particular, juega un papel fundamental en el análisis de conceptos formales (metodología para el análisis de datos utilizando la teoría de celosías ).

Correspondencia antimonótona de Galois

La definición de antimonótono fue dada originalmente por Birkhoff y corresponde directamente a la conexión en la teoría de Galois. Según esta definición, cualquier par de funciones y entre conjuntos parcialmente ordenados y que satisfacen las siguientes relaciones se denomina correspondencia de Galois: ${\ estilo de visualización \ varphi: A \ a B}$ ${\ estilo de visualización \ psi: B \ a A}$ $A$ $B$

si , entonces (antimonotonicidad ), $a\leqslant a'$ ${\ estilo de visualización \ varphi (a) \ geqslant \ varphi (a')}$ $\varphi$
si , entonces (antimonotonicidad ), $b\leqslant b'$ ${\ estilo de visualización \ psi (b) \ geqslant \ psi (b')}$ $\psi$
${\ estilo de visualización \ psi (\ varphi (a)) \ geqslant a}$ (extensión ), ${\ estilo de visualización \ psi \ circ \ varphi}$
${\ estilo de visualización \ varphi (\ psi (b)) \ geqslant b}$ (extensión ). ${\ estilo de visualización \ varphi \ circ \ psi}$

Las composiciones y resultan monótonas y además tienen la propiedad idempotente ( y ), por lo tanto, son clausuras sobre y, respectivamente. ${\ estilo de visualización \ psi \ circ \ varphi}$ ${\ estilo de visualización \ varphi \ circ \ psi}$ ${\ estilo de visualización (\ psi \ circ \ varphi) \ circ (\ psi \ circ \ varphi) = \ psi \ circ \ varphi}$ ${\ estilo de visualización (\ varphi \ circ \ psi) \ circ (\ varphi \ circ \ psi) = \ varphi \ circ \ psi}$ $B$ $A$

La definición de una correspondencia de Galois antimonótona para funciones antimonótonas y la siguiente condición ( Jürgen Schmidt , 1953 [2] [3] ): si y solo si . $\varphi$ $\psi$ ${\ Displaystyle b \ leqslant \ varphi (a)}$ ${\ Displaystyle a \ leqslant \ psi (b)}$

Por analogía con las polares en geometría analítica, las funciones relacionadas por la correspondencia antimonótona de Galois se denominan polaridades [4] .

Correspondencia monótona de Galois

Funciones monótonas y están en correspondencia monótona de Galois si se cumplen las siguientes condiciones: ${\ estilo de visualización \ gamma: A \ a B}$ ${\ estilo de visualización \ delta: B \ a A}$

${\ estilo de visualización \ gamma (\ delta (b)) \ geqslant b}$ ,
$\delta (\gamma (a))\leqslant a$ .

Equivalente a esta definición es el cumplimiento de una condición dual a la condición de Schmidt para la variante antimonótona: si y sólo si , a menudo se toma como la definición inicial [5] . $b\leqslant\gamma (a)$ ${\ estilo de visualización \ delta (b) \ leqslant a}$

En el caso de una correspondencia de Galois monótona, también se habla de la conjugación de funciones, ya que en la teoría de categorías tal correspondencia da funtores adjuntos . A diferencia de la forma antimonótona, donde los componentes de la correspondencia ( polaridad ) son simétricos, en la correspondencia monótona se distingue la función conjugada superior , cuyos valores participan en la condición a la derecha en las relaciones de orden (en esta definición - , y el conjugado inferior - cuyos valores participan en las relaciones de orden de la condición de la izquierda ( ) A veces se dice que la función adjunta inferior es sesgada - adjunta (en cuyo caso la función superior simplemente se llama "adjunto"). $\gama$ $\delta$

El operador de clausura en la correspondencia monótona de Galois es la composición , mientras que la composición no es una clausura, por lo que en lugar de ser extensiva, se cumple la condición inversa (una función con tal conjunto de propiedades a veces se denomina operador nuclear [6 ] o una clausura). ${\ estilo de visualización \ delta \ circ \ gamma}$ ${\ estilo de visualización \ gamma \ circ \ delta}$

Funtores adjuntos

Cualquier poset puede considerarse como una categoría en la que para cada par de objetos el conjunto de morfismos consta de un solo morfismo si y está vacío en caso contrario. Para las categorías generadas de esta manera a partir de conjuntos parcialmente ordenados y , las asignaciones y , que están en una correspondencia monótona de Galois, son funtores adjuntos . $(A,\leqslant)$ ${\ estilo de visualización a, a' \ en A}$ $\mathrm {Hom} (a,a')$ $a\leqslant a'$ $A$ $B$ ${\ estilo de visualización \ gamma: A \ a B}$ ${\ estilo de visualización \ delta: B \ a A}$

Los funtores conjugados son también las aplicaciones y ( es una categoría dual a , es decir, obtenida por inversión de morfismos), que están en la correspondencia antimonótona de Galois [7] . $\varphi :A\to B^{\mathrm {op} }$ $\psi :B\to A^{\mathrm {op} }$ ${\displaystyle A^{\mathrm {op} ))$ $A$

Propiedades

Composición de correspondencias

La correspondencia de Galois, tanto en forma antimonótona como monótona, puede estar sujeta a la operación de composición: si se dan pares de aplicaciones y en la correspondencia de Galois , entonces la composición es: ${\ estilo de visualización (\ varphi _ {1}: A \ a B, \ psi _ {1}: B \ a A)}$ ${\ estilo de visualización (\ varphi _ {2}: B \ a C, \ psi _ {2}: C \ a B}$

{\ estilo de visualización (\ varphi _ {2}, \ psi _ {2}) \ circ (\ varphi _ {1}, \ psi _ {1}) = (\ varphi _ {2} \ circ \ varphi _ {1} },\psi _{1}\circ \psi _{2})}

es de nuevo la correspondencia de Galois.

Ejemplos

Teoría de Galois y generalizaciones

En la teoría de Galois se establece una correspondencia entre el sistema de subcampos intermedios de una extensión algebraica de un campo y el sistema de subgrupos del grupo de Galois de esta extensión. $L\supset K$

Un ejemplo de la teoría de Galois se puede generalizar naturalmente: en lugar del grupo de automorfismos de un campo, uno puede considerar un grupo arbitrario , que actúa sobre el conjunto de mapeo , y mapeos entre booleanos ordenados por inclusión y . En este caso, las asignaciones y , definidas de la siguiente manera: $GRAMO$ $tu$ $\cdot :G\times U\to U$ ${\mathcal {P}}U$ ${\mathcal {P}}G$ $\varphi:{\mathcal {P}}U\to {\mathcal {P}}G$ $\psi :{\mathcal {P}}G\to {\mathcal {P}}U$

{\displaystyle \varphi (X)=\{\sigma \mid u\in X\Rightarrow \sigma \cdot u=u\))

(selecciona un subgrupo en , dejando todos los puntos en su lugar debajo de la acción ),

GRAMO

{\ estilo de visualización u \ en X}

\cdot

\psi (S)=\{u\mid \sigma \in S\Rightarrow \sigma \cdot u=u\}

(asocia al conjunto el conjunto de puntos fijos de automorfismos bajo la acción )

S\subconjunto G

\cdot

están en la correspondencia antimonótona de Galois [7] .

La siguiente generalización consiste en considerar conjuntos arbitrarios entre los que se da una relación binaria arbitraria y mapeos entre los booleanos de estos conjuntos y , definidos de esta forma: $\star \subseteq A\times B$ ${\mathcal {P}}A$ ${\mathcal {P}}B$

{\displaystyle \varphi (X)=\{y\in B\mid \forall (x\in X)x\star y\))

{\displaystyle \psi (Y)=\{x\in A\mid \forall (y\in Y)x\star y\))

En este caso, y también están en la correspondencia antimonótona de Galois. $\varphi$ $\psi$

Booleanos y generalizaciones

Un valor booleano ordenado por inclusión de un conjunto arbitrario y algún subconjunto fijo del mismo se puede asociar con una correspondencia monótona de Galois entre asignaciones definidas de la siguiente manera: ${\mathcal {P}}A$ $F\subconjunto A$ $\varphi,\psi:{\mathcal {P}}A\to {\mathcal {P}}A$

{\ estilo de visualización \ varphi (X) = F \ cap X}

\psi (X)=X\cup (A\setminus F)

Tal relación se puede establecer en cualquier álgebra de Heyting , en particular, en cualquier álgebra booleana (en las álgebras booleanas en términos del álgebra de la lógica , el papel de la función conjugada superior lo desempeña la conjunción , y la función conjugada inferior por la implicación material ).

Retículos completos

Notas

↑ Gretzer, 1981 , pág. 78.
↑ J. Schmidt. Beitrage zur Filtertheorie. II (alemán) // Mathematische Nachrichten . - 1953. - Bd. 10 , núm. 53 . - S. 197-232 .
↑ Birkhoff, 1984 , pág. 165.
↑ Birkhoff, 1984 , pág. 163.
↑ Giertz, 2003 , pág. 22
↑ Giertz, 2003 , pág. 26
↑ 1 2 McLane, 2004 , pág. 114.

Literatura

Birkhoff G. Teoría de la red. — M .: Nauka , 1984. — 567 p.
G. Gierz, K. H. Hofmann, K. Keimel, J. D. Lawson, M. Mislow, D. S. Scott . Conexiones de Galois // Celosías continuas y dominios. - Cambridge: Cambridge University Press , 2003. - S. 22-35. — 629 pág. — (Enciclopedia de Matemáticas y sus Aplicaciones, vol. 93).
Gretzer G. Teoría general de las redes. — M .: Mir , 1981. — 456 p.
McLane S. Capítulo 4. Funtores adjuntos // Categorías para el matemático en activo / Per. De inglés. edición V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - S. 95-128. — 352 págs. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Øystein Ore. Galois Connexions (inglés) // Transacciones de la American Mathematical Society . - 1944. - vol. 55 . - pág. 493-513 . — ISSN 0002-9947 . -doi : 10.1090 / S0002-9947-1944-0010555-7 .