Relación de orden

Una relación de orden es una relación binaria (en lo sucesivo denominada o ) entre los elementos de un conjunto dado, similar en sus propiedades a las propiedades de la relación de desigualdad .

Un conjunto, cuyos elementos son comparables por una relación de orden dada (es decir, para cualquier , o ), se llama linealmente ordenado , y la relación de orden se llama orden lineal . Si no todos los elementos desiguales son comparables, el orden se llama parcial y el conjunto se llama parcialmente ordenado . También existe un orden estricto , en el que es imposible, y otro no estricto [1] .

Ejemplos [1] .

• La relación de los números reales define un orden lineal no estricto para ellos.
• La razón de los números reales define un orden lineal estricto para ellos.
• Relación de divisibilidad sobre el conjunto de los números naturales : si es un divisor Este es un orden parcial no estricto, ya que no todos los números naturales son divisibles entre sí sin resto.
• La relación de inclusión sobre el conjunto de subconjuntos de un conjunto dado también define un orden parcial no estricto.
• La relación (ancestro, descendencia) sobre una población de animales es un estricto orden parcial.

Definiciones

La relación de orden parcial no estricta (reflexiva) ( ) sobre el conjunto  es una relación binaria , por lo que se cumplen las siguientes condiciones para cualquiera de ellas [2] :

1. Reflexividad : .
2. Antisimetría : si y , entonces .
3. Transitividad : si  y , entonces .

También es conveniente definir adicionalmente la relación de orden estricto (antirreflexiva) ( ) para la relación sobre el mismo conjunto [1] :

Las propiedades de una relación estricta difieren de las propiedades de una no estricta:

1. Antirreflexividad : ;
2. Asimetría : si , entonces ;
3. Transitividad : si  y , entonces .

La segunda propiedad no es independiente, se deriva de la antirreflexividad y la transitividad. Por tanto, una relación es una relación de orden estricto si y sólo si es antirreflexiva y transitiva.

Un conjunto en el que se introduce una relación de orden estricto o no estricto se denomina parcialmente ordenado . Si, además, para cualquier elemento se cumple adicionalmente una de las condiciones: o entonces el orden se llama lineal y el conjunto está ordenado linealmente [2] .

Historia

Los signos fueron propuestos por el científico inglés Thomas Harriot en su obra, publicada póstumamente en 1631 [3] .

La definición de un conjunto parcialmente ordenado fue formulada explícitamente por primera vez por F. Hausdorff [4] , aunque G. Leibniz consideró axiomas de orden similares alrededor de 1690. La definición de conjuntos ordenados linealmente y completamente ordenados fue dada por primera vez por G. Kantor [5] .

Variaciones y generalizaciones

Si un conjunto ordenado forma algún tipo de estructura algebraica, generalmente se requiere que el orden en esta estructura sea consistente con las operaciones algebraicas. Ver artículos sobre esto:

• grupo ordenado
• anillo ordenado
• campo ordenado

A veces es útil considerar relaciones para las que solo se cumplen el primer y el tercer axioma (reflexividad y transitividad); tales relaciones se denominan preorden o cuasiorden . Si es un cuasi-orden, entonces la relación dada por la fórmula [6] :

será una relación de equivalencia . En un conjunto de cocientes , por esta equivalencia, un orden no estricto se puede definir de la siguiente manera [6] :

donde está la clase de equivalencia que contiene el elemento

Véase también

• Teorema de Spielrain

Notas

1. ↑ 1 2 3 Kurosh, 1973 , pág. 16, 20-22.
2. ↑ 1 2 Nechaev, 1975 , p. 78.
3. ↑ Alexandrova N. V. Historia de los términos matemáticos, conceptos, notación: Libro de referencia del diccionario . - 3ra ed. - San Petersburgo. : LKI, 2008. - S.  111 -112. — 248 págs. - ISBN 978-5-382-00839-4 .
4. ↑ Hausdorff F. Grundzuge der Mengenlehre, Lpz., 1914.
5. ↑ Conjunto parcialmente ordenado // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1985. - T. 5. - S. 833-836. — 1248 pág.
6. ↑ 1 2 Orden // Enciclopedia Matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1984. - T. 4. - S. 505. - 1216 p.

Literatura

• Kurosh A. G. Conferencias sobre álgebra general. - 2ª ed. — M .: Fizmatlit , 1973.
• Nechaev V. I. Sistemas numéricos. - M. : Educación, 1975. - 199 p.