Grupo galois

El grupo Galois es el grupo asociado a la extensión del campo . Juega un papel importante en el estudio de extensiones de campo , en particular en la teoría de Galois . Este concepto (en el contexto del grupo de permutación de las raíces de un polinomio ) fue introducido en las matemáticas por Evariste Galois en 1832.

Definición

Sea el campo K la extensión de Galois del campo P . Un mapeo uno a uno de un campo K sobre sí mismo se llama automorfismo si mapea la suma a la suma y el producto al producto, es decir, si para cualquier elemento del campo K las igualdades $F$ $a, b$

f(a+b)=f(a)+f(b),\ f(ab)=f(a)\cdot f(b).

El grupo de Galois para una extensión de campo dada es la colección de todos los automorfismos del campo K que conservan elementos del campo P : . Por lo general, se denota como G ( K , P ) o Gal ( K , P ). $\forall a\in P\;f(a)=a$

Propiedades

El grupo de Galois de extensión finita es finito . Su orden (número de elementos) es igual al grado de expansión [ K : P ].

Ejemplos

Si el campo extendido coincide con el original, entonces el grupo de Galois contiene un solo elemento: la unidad (automorfismo de identidad).
Para extender el campo de los números reales al campo de todos los números complejos , el grupo de Galois contiene 2 elementos: la unidad y la conjugación compleja .
El campo de extensión consta de números de la forma , donde a , b son números racionales . El grupo de Galois aquí contiene 2 elementos: la unidad y la operación que cambia el signo del segundo término con . ${\ matemáticas {Q}} [{\ sqrt {2}}]$ $a+b{\raíz cuadrada {2}}$ ${\ sqrt {2}}$
Sea p un número primo . Considere campos finitos y , el primero de los cuales está incrustado naturalmente en el segundo. El grupo de Galois de esta extensión es cíclico , es generado por el automorfismo de Frobenius . $\mathbb {F} _{p}$ $\mathbb {F} _{p^{n}}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{p))$
Grupo de Galois de una ecuación algebraica [1] .

Considere una ecuación algebraica de cuarto grado . Permite las siguientes transformaciones de la variable x : . Para sigue , eso es . Por lo tanto, se sigue que . Esto significa que la ecuación se puede transformar .

P(x)=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1=0

y=1/x,\ y=x^{2},\ y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

{\ estilo de visualización y = 1/x}

y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1)/x ^{4}

{\displaystyle P(y)=P(x)/x^{4))

{\ estilo de visualización P (x) = 0}

{\ estilo de visualización P (y) = 0}

{\ estilo de visualización P (x) = 0}

{\ estilo de visualización y = 1/x}

Porque resulta . Dividiendo esta ecuación por la original da . Entonces la transformación también está permitida por la ecuación .

y = x^2

P(y)=y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1=x^{8}+x^{6}+x^{4}+x^ {2}+1

P(x)

P(y)=(x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1)P(x)

y = x^2

P(x)

De igual forma, para la transformación , se puede obtener la siguiente fórmula de transformación: .

y=-(x^{3}+x^{2}+x+1)

P(y)=(x^{8}+3x^{7}+6x^{6}+9x^{5}+9x^{4}+7x^{3}+4x^{2} +x+1)P(x)

Probemos ahora que la ecuación admite un grupo infinito de transformaciones , donde toma todos los valores enteros (positivos y negativos) que no son múltiplos de cinco. Primero, veamos la sustitución . De esta igualdad se sigue que , ..., . Para probar que la ecuación admite un grupo infinito de transformaciones para , basta con mostrar que la transformación es permitida . Para esta transformación contamos con: . Los valores enteros negativos se obtienen aplicando la transformación . Es fácil probar que las transformaciones resultantes forman un grupo.

P(x)

{\ estilo de visualización y = x ^ {n}}

norte

{\ estilo de visualización x^{4}=-(x^{3}+x^{2}+x+1)}

x^{5}=x\cdot x^{4}=-(x^{4}+x^{3}+x^{2}+x)=1,\ x^{6}= x\cdot x^{5}=x

{\ estilo de visualización x^{n}=x^{n-5))

P(x)

{\ estilo de visualización y = x ^ {n}}

5\!\ \nmid n

{\ estilo de visualización y = x ^ {3}}

P(y)=x^{12}+x^{9}+x^{6}+x^{3}+1=x^{2}+x^{4}+x+x^ {3}+1=0

norte

{\ estilo de visualización y = 1/x}

El grupo de transformaciones construido transforma cada raíz de una ecuación en una raíz de la misma ecuación. Veamos ahora cómo se transforma exactamente cada raíz de la ecuación bajo la influencia de este grupo de transformaciones. Del curso de álgebra, se sabe que las raíces de la ecuación son números . La transformación traduce raíz a , raíz a , raíz a , raíz a . La sustitución resultante se denota por . De manera similar, se puede demostrar que la transformación conduce a una sustitución . La transformación da como resultado una sustitución . Las restantes transformaciones no dan nuevas sustituciones.

{\ estilo de visualización y = x ^ {n}}

P(x)

P(x)

P(x)

x_{1}=z,\ x_{2}=z^{2},\ x_{3}=z^{3},\ x_{4}=z^{4},\ z=e ^{2\pi i/5}

y = x^2

x_{1}

x_{2}

x_{2}

x_{4}

x_{3}

x_{1}

x_{4}

x_{3}

(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3})

{\ estilo de visualización y = x ^ {3}}

(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2})

{\ estilo de visualización y = x ^ {-1}}

{\ estilo de visualización (x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})}

Así, el conjunto de transformaciones de las raíces de la ecuación induce un grupo finito de orden cuatro, formado por los siguientes elementos: . Este grupo finito se llama el grupo de Galois de la ecuación .

{\ estilo de visualización y = x ^ {n}}

P(x)

1,(x_{1},x_{2},x_{4},x_{3}),(x_{1},x_{3},x_{4},x_{2}),( x_{1},x_{4})(x_{2},x_{3})

P(x)

Sea el campo de división circular de grado n . El grupo de Galois de una extensión circular es isomorfo al grupo multiplicativo del anillo de residuo módulo n . $K_n$ $K_{n}/Q$ $Z_{n}^{*}$

Aplicación

Extensiones de campo

Considere una cadena de extensiones de campo sucesivas: Construya un grupo de Galois para campos que son extremos en la cadena: Según el teorema principal de la teoría de Galois , cada campo intermedio en la cadena de extensiones corresponde a un subgrupo del grupo G , es decir, una cadena de extensiones de campo se puede asociar con una cadena de subgrupos anidados, que se estrecha desde G hasta los subgrupos triviales . Si consideramos todos los campos intermedios a la vez (es decir, campos de la forma ), esta correspondencia es una biyección del conjunto de campos intermedios al conjunto de subgrupos del grupo de Galois. Además, los subgrupos correspondientes a extensiones normales son subgrupos normales de G y viceversa. $L_{1}\subconjunto L_{2}\subconjunto \cdots \subconjunto L_{n}.$ $G=\operatorname {Gal} (L_{n},L_{1}).$ $L_{k}$ $G k}$ $L_{1}\subconjunto X\subconjunto L_{n}$

Esta correspondencia nos permite estudiar extensiones finitas de campos utilizando la teoría de grupos. Por ejemplo, se sigue inmediatamente que el número de campos intermedios para una extensión normal dada siempre es finito (como el número de subgrupos en un grupo finito).

Ecuaciones algebraicas

El campo principal de una ecuación algebraica es un conjunto de números que se pueden obtener a partir de los coeficientes de esta ecuación mediante las operaciones de suma , resta , multiplicación y división . Un campo de descomposición es un conjunto de números que se pueden obtener utilizando un número finito de las mismas operaciones, en función de los coeficientes y las raíces de la ecuación. El campo principal en el caso general es solo un subcampo del campo de descomposición.

Es costumbre llamar al grupo de Galois formado por automorfismos del campo de descomposición el grupo de Galois de esta ecuación . Cualquier automorfismo del grupo de Galois G ( K , P ) asigna cada raíz de un polinomio arbitrario sobre el campo P a una raíz del mismo polinomio. Así, el grupo de Galois de cualquier ecuación algebraica que no tenga raíces múltiples puede ser considerado como un grupo de permutación (así lo consideraba el propio Evarist Galois ).

Notas

↑ N. Kh. Ibragimov. Una breve digresión sobre el grupo de Galois // ABC del análisis de grupos. - M. : Saber, 1989. - S. 42.

Literatura

Teoría de Artin E. Galois. - M. : MTSNMO, 2008. - ISBN 978-5-94057-062-2 .
Teoría de Postnikov M. M. Galois. — M .: Nauka, 1963. — 220 p.