Isotopía

Una isotopía es una homotopía para la cual, para cualquiera, el mapeo es un homeomorfismo en . $f_{t}:X\a Y,t\en [0,1]$ $t$ $pie$ $X$ ${\ estilo de visualización f (X) \ subconjunto Y}$

Definición

Una isotopía de una variedad es un mapeo suave tal que cada uno es un difeomorfismo , donde y no depende en algunas vecindades de 0 y 1 ( es el mapeo de identidad ). $METRO$ ${\ estilo de visualización f: [0,1] \ veces M \ a M}$ $f_{t}:M\to M$ $f_{t}(x)=f(t,x)$ ${\ Displaystyle f_ {t}}$ $t$ ${\ Displaystyle f_ {t}}$

Se dice que una isotopía es equivariante si conmuta con la acción del grupo. Más precisamente, si donde Se supone que el grupo actúa sin problemas en . $F$ ${\ estilo de visualización f ^ {G} = M,}$ $f^{G}=\{x\in M\,|\,f_{t}(gx)=gf_{t}(x)\quad \forall t\in I\,\And \,g \En g\}.$ $GRAMO$ $METRO$

El conjunto es un subespacio invariante cerrado de la variedad (subespacio de equivarianza isotópica ). ${\ estilo de visualización f^{G}}$ $METRO$ $F$

Definiciones relacionadas

Una isotopía que cubre (o encierra ) para una isotopíaes una isotopía espacialtal que $f_{t}:X\a Y$ $F_{t}:Y\a Y$ ${\displaystyle F_{t}|_{X}\equiv f_{t))$
Se dice que dos incrustaciones son isotópicas si existe una isotopía de cobertura para la cual . ${\ estilo de visualización f_ {0}, f_ {1}: X \ a Y}$ $F_{t}:Y\a Y$ $F_{0}=id,F_{1}(f_{0}(X))=f_{1}(X)$
Se dice que los espacios y son isotópicamente equivalentes o espacios del mismo tipo de isotopía si hay incrustaciones tales que las composiciones y son isotópicas a los mapas de identidad. $X$ $Y$ ${\ estilo de visualización f: X \ a Y, \ g: Y \ a X}$ $g\circ f:X\to X$ $f\circ g:Y\to Y$
- Si los espacios son homeomorfos, entonces son isotópicamente equivalentes, pero hay espacios no homeomorfos del mismo tipo isotópico, por ejemplo, una bola bidimensional y la misma bola con un segmento pegado a su superficie (uno de sus extremos). $norte$
- Cualquier invariante de homotopía es un invariante de isotopía, pero hay invariantes de isotopía, como la dimensión , que no son homotópicos.

Propiedades

Una isotopía es una relación de equivalencia .
Una isotopía suave siempre se extiende a una isotopía de cobertura suave
Existen difeomorfismos de una esfera sobre sí misma que no son isotópicos a la identidad, este hecho está relacionado con la existencia de estructuras diferenciales no triviales sobre esferas de dimensión . $S^{n}$ $n+1$