Producto tensorial

El producto tensorial es una operación sobre espacios vectoriales , así como sobre elementos ( vectores , matrices , operadores , tensores , etc.) de espacios multiplicados.

El producto tensorial de espacios lineales es el espacio lineal denotado por . Pues los elementos y su producto tensorial están en el espacio . $A$ $B$ $A veces B$ $a \ en A$ $b\en B$ $a veces b$ $A veces B$

La notación del producto tensorial surgió por analogía con la notación del producto cartesiano de conjuntos.

Producto tensorial de espacios lineales (vectoriales)

Espacios de dimensión finita

Sean y espacios vectoriales de dimensión finita sobre el campo , una base en y una base en . Llamaremos producto tensorial de espacios al espacio vectorial generado por elementos , llamados productos tensoriales de bases vectoriales . El producto tensorial de vectores arbitrarios se puede definir configurando la operación para que sea bilineal : $A$ $B$ $k$ $\{e_{i}\}_{{i=1\puntos n}}$ $A$ $\{f_{k}\}_{{k=1\puntos m}}$ $B$ $A veces B$ $A$ $B$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $a veces b$ $a\en A,~b\en B$ $\otimes$

(\lambda a_{1}+\mu a_{2})\otimes b=\lambda \,a_{1}\otimes b+\mu \,a_{2}\otimes b,~~\lambda ,\mu \ tinta

a\otimes (\lambda b_{1}+\mu b_{2})=\lambda \,a\otimes b_{1}+\mu \,a\otimes b_{2},~~\lambda ,\mu \tinta

En este caso, el producto tensorial de vectores arbitrarios y se expresa como una combinación lineal de vectores base . Los elementos en , representables como , se denominan descomponibles . $a$ $b$ $e_{i}\otimes f_{k}$ $A veces B$ $a veces b$

Aunque el producto tensorial de espacios se define en términos de la elección de las bases, sus propiedades geométricas no dependen de esta elección.

Definición con una propiedad genérica

El producto tensorial es, en cierto sentido, el espacio más general en el que se pueden mapear bilinealmente los espacios originales. Es decir, para cualquier otro espacio y mapeo bilineal , existe un mapeo lineal único tal que $C$ $\otimes ^{\prime }:A\times B\to C$ $f:A\otimes B\to C$

\otimes ^{\prime }=f\circ \otimes ,

donde denota la composición de funciones . $\circ$

En particular, se sigue de esto que el producto tensorial no depende de la elección de bases en y , ya que todos los espacios que satisfacen la propiedad universal resultan ser canónicamente isomorfos a . $A$ $B$ $A veces B$

Por lo tanto, especificar una aplicación bilineal arbitraria es equivalente a especificar una aplicación lineal : los espacios y son canónicamente isomorfos. $L^{2}\ni \varphi :A\veces B\a C$ $L\ni \varphi :A\otimes B\to C$ $\ L^{2}(A\veces B,C)$ $L(A\veces B,C)$

Producto de más de dos espacios

La propiedad universal anterior se puede extender a productos de más de dos espacios. Por ejemplo, sean , y tres espacios vectoriales. Producto tensorial junto con mapeo trilineal del producto directo $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$ ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))$

{\displaystyle\varphi:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3))

tiene la forma de que cualquier aplicación trilineal de un producto directo a un espacio vectorial $F$ $W$

F:V_{1}\times V_{2}\times V_{3}\to W

se pasa de forma única a través del producto tensorial:

F=L\circ \varphi

donde es un mapeo lineal. El producto tensorial se caracteriza únicamente por esta propiedad, hasta el isomorfismo . El resultado de la construcción anterior coincide con la repetición del producto tensorial de dos espacios. Por ejemplo, si , y son tres espacios vectoriales, entonces hay un isomorfismo (natural) $L$ $V_{1}$ $V_{2}$ $V_{3}$

V_{1}\otimes V_{2}\otimes V_{3}\cong V_{1}\otimes (V_{2}\otimes V_{3})\cong (V_{1}\otimes V_{ 2})\oveces V_{3}.

En general, el producto tensorial de una familia indexada arbitraria de conjuntos se define como un objeto universal para aplicaciones multilineales a partir de un producto directo . $V_i$ $yo en yo$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ prod _ {i \ en I} V_ {i}}$

Sea un número natural arbitrario. Entonces la potencia tensorial del espacio se llama producto tensorial de copias : $norte$ $norte$ $V$ $norte$ $V$

V^{{\otimes n}}\;{\overset {{\mathrm {def}}}{=}}\;\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V}_{{n}}.

Funcionalidad

El producto tensorial también actúa sobre aplicaciones lineales. Sean , operadores lineales. El producto tensorial de los operadores está determinado por la regla $A\dos puntos U_{1}\a U_{2}$ ${\displaystyle B\dos puntos W_{1}\a W_{2))$ ${\displaystyle A\otimes B\dos puntos U_{1}\otimes W_{1}\to U_{2}\otimes W_{2))$

(A\oveces B)(u\oveces w)=(Au)\oveces (Bw),~~u\en U_{1},\,w\en W_{1}

Después de esta definición, el producto tensorial se convierte en un bifuntor de la categoría de espacios vectoriales en sí mismo, covariante en ambos argumentos. [una]

Si las matrices de los operadores A y B para alguna elección de bases tienen la forma

{\mathrm {A}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}&\cdots &a_{{1n}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}&\cdots &a_{{mn}}\end{bmatriz}}

{\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}b_{{11}}&\cdots &b_{{1q}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{{p1}}&\cdots &b_{{pq}}\end{bmatriz}}

entonces la matriz de su producto tensorial se escribirá en la base formada por el producto tensorial de las bases en forma de matriz de bloque

{\mathrm {A}}\otimes {\mathrm {B}}={\begin{bmatrix}a_{{11}}B&\cdots &a_{{1n}}B\\\vdots &\ddots &\vdots \ \a_{{m1}}B&\cdots &a_{{mn}}B\end{bmatrix}}=

={\begin{bmatrix}a_{{11}}b_{{11}}&a_{{11}}b_{{12}}&\cdots &a_{{11}}b_{{1q}}&\cdots & \cdots &a_{{1n}}b_{{11}}&a_{{1n}}b_{{12}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{1q}}\\a_{{11}}b_ {{21}}&a_{{11}}b_{{22}}&\cdots &a_{{11}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{1n}}b_{{21}} &a_{{1n}}b_{{22}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots & \vdots \\a_{{11}}b_{{p1}}&a_{{11}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{11}}b_{{pq}}&\cdots &\cdots &a_ {{1n}}b_{{p1}}&a_{{1n}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{1n}}b_{{pq}}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{{m1}}b_{{11}}&a_{{m1 }}b_{{12}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{1q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{11}}&a_{{mn}}b_{{ 12}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{1q}}\\a_{{m1}}b_{{21}}&a_{{m1}}b_{{22}}&\cdots &a_{{ m1}}b_{{2q}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{21}}&a_{{mn}}b_{{22}}&\cdots &a_{{mn}}b_{ {2q}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{{m1}}b_{{p1}}&a_{{m1}}b_ {{p2}}&\cdots &a_{{m1}}b_{{ pq}}&\cdots &\cdots &a_{{mn}}b_{{p1}}&a_{{mn}}b_{{p2}}&\cdots &a_{{mn}}b_{{pq}}\end {bmatriz}}

La operación matricial correspondiente se denomina producto de Kronecker , en honor a Leopold Kronecker .

Casos especiales

Producto tensorial de dos vectores

La multiplicación (matricial) de un vector columna a la derecha por un vector fila describe su producto tensorial:

\mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \leftrightarrow {\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\\a_{4}\end{bmatrix} }{\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{ 1}b_{3}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2} &a_{3}b_{3}\\a_{4}b_{1}&a_{4}b_{2}&a_{4}b_{3}\end{bmatriz}}.

Propiedades

$\dim A\otimes B=\dim A\cdot \dim B$

Las siguientes propiedades algebraicas se basan en el isomorfismo canónico:

Asociatividad

(A\oveces B)\oveces C\simeq A\oveces (B\oveces C)

Formalmente hablando, el producto tensorial no es conmutativo, pero hay un isomorfismo natural $A\otimes B\to B\otimes A$
linealidad

A\otimes (B\oplus C)\simeq (A\otimes B)\oplus (A\otimes C)

\oplus

es la suma exterior de espacios lineales.

Producto tensorial de módulos

Sean módulos sobre algún anillo conmutativo . El producto tensorial de módulos es un módulo sobre , dado junto con una aplicación multilineal y que tiene la propiedad de universalidad, es decir, tal que para cualquier módulo sobre y cualquier aplicación multilineal existe un único homomorfismo de módulos tal que el diagrama $A_{1},A_{2},\puntos,A_{n}$ $R$ $B$ $R$ $f\dos puntos A_{1}\veces \puntos \veces A_{n}\a B$ $C$ $R$ $g\dos puntos A_{1}\veces \puntos \veces A_{n}\a C$ $h\dos puntos B\a C$

conmutativo El producto tensorial se denota por . De la universalidad del producto tensorial se deduce que está únicamente definido hasta el isomorfismo. $A_{1}\otimes \ldots \otimes A_{n}$

Para probar la existencia de un producto tensorial de cualquier módulo sobre un anillo conmutativo, construimos un módulo libre cuyos generadores son n elementos de módulos donde . Sea un submódulo generado por los siguientes elementos: $METRO$ $(x_{1},\puntos,x_{n})$ $x_{i}\en A_{i}$ $norte$ $METRO$

$(x_{1},\puntos,x_{i}+y_{i},\puntos,x_{n})-(x_{1},\puntos,x_{i},\puntos,x_{n}) -(x_{1},\puntos, y_{i},\puntos,x_{n})$
$(x_{1},\puntos,\lambda x_{i},\puntos,x_{n})-\lambda (x_{1},\puntos,x_{i},\puntos,x_{n})$

El producto tensorial se define como el módulo del cociente , la clase se denota y se denomina producto tensorial del elemento , a se define como el mapeo inducido correspondiente. $B=M/N$ $(x_{1},\puntos,x_{n})+N$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$ $x_{yo}$ $F$

De 1) y 2) se deduce que el mapeo es multilineal. Probemos que para cualquier módulo y cualquier aplicación multilineal existe un homomorfismo de módulo único , tal que . $f\dos puntos A_{1}\veces \puntos \veces A_{n}\a B$ $C$ $g\dos puntos A_{1}\veces \puntos \veces A_{n}\a C$ $h$ $g=h\circ f$

De hecho, dado que es gratuito, existe un mapeo único que hace que el diagrama $METRO$ $h^{*}$

conmutativa, y debido a que es multilineal, entonces de aquí en adelante , pasando a la aplicación inducida, se obtiene que , será el único homomorfismo cuya existencia se requería probar. $gramo$ $norte$ $h^{*}(N)=0$ $h\dos puntos M/N\to C$

Los elementos que se pueden representar en la forma se denominan descomponibles . $A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}$ $x_{1}\otimes \dots \otimes x_{n}$

Si son isomorfismos de módulos, entonces el homomorfismo inducido correspondiente al mapeo bilineal $f_{i}\dos puntos A_{i}\a B_{i}$

f_{1}\otimes \dots \otimes f_{n}\dos puntos A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n}\to B_{1}\otimes \dots \otimes B_{n}

existente por la propiedad de universalidad se denomina producto tensorial de homomorfismos . $f_{i}$

Un caso particularmente sencillo se obtiene en el caso de los módulos libres . Sea la base del módulo . Construyamos un módulo libre sobre nuestro anillo, teniendo como base los elementos correspondientes a n -kam , definiendo un mapeo y extendiéndolo por linealidad. Entonces es el producto tensorial, donde es el producto tensorial de los elementos . Si el número de módulos y todas sus bases son finitos, entonces $e_{{i1}},\puntos,e_{{in}}$ $Ai}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\puntos,e_{{ns}})$ $f(e_{{1m}},e_{{2p}},\puntos ,e_{{ns}})\to (e_{{1m}},e_{{2p}},\puntos ,e_{{ns }})$ $A_{1}\veces\puntos\veces A_{n}$ $F$ $(e_{{1m}},e_{{2p}},\puntos,e_{{ns}})$ $e_{{1m}}\otimes e_{{2p}}\otimes \dots \otimes e_{{ns}}$

{\mathrm {rango}}(A_{1}\otimes \dots \otimes A_{n})={\mathrm {rango}}\,A_{1}\cdot \dots \cdot {\mathrm {rango}} \,Un}

Literatura

Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ra ed. - M. : Prensa Factorial, 2002. - 544 p. - 3000 copias. — ISBN 5-88688-060-7 .
Leng S. Álgebra. — M .: Mir , 1967.
Van der Waerden B. L. Álgebra. — M .: Nauka , 1976. — 648 p.

Notas

↑ Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadezhda Mikhalovna; Gubareni, Nadia; Kirichenko, Vladimir V. Álgebras, anillos y módulos (neopr.) . - Springer, 2004. - Pág. 100. - ISBN 978-1-4020-2690-4 .