Producto Kronecker

La versión actual de la página aún no ha sido revisada por colaboradores experimentados y puede diferir significativamente de la versión revisada el 22 de noviembre de 2021; la verificación requiere 1 edición .

El producto de Kronecker es una operación binaria en matrices de tamaño arbitrario, denotado por . El resultado es una matriz de bloques . $\otimes$

El producto de Kronecker no debe confundirse con la multiplicación de matrices ordinaria . La operación lleva el nombre del matemático alemán Leopold Kronecker .

Definición

Si A es una matriz m × n y B es una matriz p × q , entonces el producto de Kronecker es una matriz de bloques mp × nq

A\otimes B={\begin{bmatrix}a_{11}B&\cdots &a_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}B&\cdots &a_{mn}B \end{bmatriz}}.

Expandido

$\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}&a_{11}b_{12}&\cdots &a_{11}b_{1q}& \cdots &\cdots &a_{1n}b_{11}&a_{1n}b_{12}&\cdots &a_{1n}b_{1q}\\a_{11}b_{21}&a_{11}b_{22} &\cdots &a_{11}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{1n}b_{21}&a_{1n}b_{22}&\cdots &a_{1n}b_{2q}\\\vdots &\ vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{11}b_{p1}&a_{11}b_{p2}&\cdots &a_{11}b_{pq}&\ cdots &\cdots &a_{1n}b_{p1}&a_{1n}b_{p2}&\cdots &a_{1n}b_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a_{m1}b_{11}&a_{m1}b_{12}&\cdots &a_{m1} b_{1q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{11}&a_{mn}b_{12}&\cdots &a_{mn}b_{1q}\\a_{m1}b_{21}&a_{m1 }b_{22}&\cdots &a_{m1}b_{2q}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{21}&a_{mn}b_{22}&\cdots &a_{mn}b_{2q}\ \\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}b_{p1}&a_{m1}b_{p2}&\cdots &a_{m1}b_ {pq}&\cdots &\cdots &a_{mn}b_{p1}&a_{mn}b_{p2}&\cdots &a_{mn}b_{pq}\end{bmatrix}}.$

Si A y B son transformaciones lineales V 1 → W 1 y V 2 → W 2 , respectivamente, entonces A ⊗ B es el producto tensorial de dos aplicaciones, V 1 ⊗ V 2 → W 1 ⊗ W 2 .

Ejemplo

{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\ cdot 0 y 1 \ cdot 5 y 2 \ cdot 0 y 2 \ cdot 5 \\ 1 \ cdot 6 y 1 \ cdot 7 y 2 \ cdot 6 y 2 \ cdot 7 \\ 3 \ cdot 0 y 3 \ cdot 5 y 4 \ cdot 0 y 4 \ cdot 5 \\ 3 \ cdot 6 y 3 \ cdot 7 y 4 \cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}

Bilinealidad, asociatividad y no conmutatividad

El producto de Kronecker es un caso especial del producto tensorial , lo que significa que es bilineal y asociativo :

A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C,

(A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C,

(kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),

(A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),

donde A , B y C son matrices y k es un escalar.

El producto de Kronecker no es conmutativo . Aunque siempre existen matrices de permutación P y Q tales que

A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.

Si A y B son matrices cuadradas , entonces A B y B A son permutativamente similares , es decir, P = Q T . $\otimes$ $\otimes$

Transposición

Las operaciones de transposición y conjugación hermítica se pueden intercambiar con el producto de Kronecker:

(A\otimes B)^{T}=A^{T}\otimes B^{T},

(A\otimes B)^{H}=A^{H}\otimes B^{H}.

Producto mixto

Si A , B , C y D son matrices de tamaño tal que hay productos de AC y BD , entonces

(A\otimes B)(C\otimes D)=AC\otimes BD.

A B es reversible si y solo si A y B son reversibles, y entonces $\otimes$

(A\otimes B)^{-1}=A^{-1}\otimes B^{-1}.

(A\otimes B)\odot (C\otimes D)=(A\odot C)\otimes (B\odot D)

, donde esta el producto de Hadamard

\odot

A\otimes B=(I\otimes B)(A\otimes I)

, donde es la matriz identidad.

yo

Suma y exponente de Kronecker

Sea A una matriz n × n , B una matriz m × m y una matriz identidad k × k . Entonces uno puede definir la suma de Kronecker como $E_k$ $\oplus$

A\oplus B=A\otimes E_{m}+E_{n}\otimes B.

también justo

e^{A\oplus B}=e^{A}\otimes e^{B}.

Espectro, traza y determinante

Si A y B son matrices cuadradas de tamaño n y q , respectivamente. Si λ 1 , …, λ n son valores propios de la matriz A y μ 1 , …, μ q son valores propios de la matriz B . Entonces los valores propios de A B son $\otimes$

\lambda_{i}\mu_{j},\qquad i=1,\ldots,n,\,j=1,\ldots,q.

La traza y el determinante del producto de Kronecker son iguales

\operatorname {tr} (A\otimes B)=\operatorname {tr} (A)\,\operatorname {tr} (B),

\det(A\otimes B)=(\det A)^{q}(\det B)^{n}.

Descomposición de valores singulares y rango

Si la matriz A tiene r A valores singulares distintos de cero :

\sigma _{A,i},\qquad i=1,\ldots,r_{A}.

Valores singulares distintos de cero de la matriz B :

{\ estilo de visualización \ sigma _ {B, i}, \ qquad i = 1, \ ldots, r_ {B}.}

Entonces el producto de Kronecker A B tiene r A r B valores singulares distintos de cero $\otimes$

\sigma _{A,i}\sigma _{B,j},\qquad i=1,\ldots,r_{A},\,j=1,\ldots,r_{B}.

El rango de una matriz es igual al número de valores singulares distintos de cero,

\operatorname {rango} (A\otimes B)=\operatorname {rango} (A)\,\operatorname {rango} (B).

Historia

La pieza de Kronecker lleva el nombre de Leopold Kronecker , aunque hay poca evidencia de que él fuera el primero en definir y utilizar la operación. En el pasado, el producto de Kronecker a veces se llamaba matriz de Zefuss .

Versiones en bloque del producto Kronecker

En el caso de matrices de bloques, se pueden utilizar operaciones matriciales relacionadas con el producto de Kronecker y que difieren en el orden de la multiplicación de bloques correspondiente. Estos son los trabajos de Tracy-Singh ( Ing. Tracy-Singh product ) y el trabajo de Khatri-Rao .

Obra de Tracy-Singh

La operación de multiplicación de matrices de bloques indicada consiste en que cada bloque de la matriz izquierda se multiplica secuencialmente por los bloques de la matriz derecha. En este caso, la estructura formada de la matriz resultante difiere de la característica del producto de Kronecker. El producto de Tracey-Singh se define como [1] [2]

\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left(\mathbf {A} _{ij}\odot \mathbf {B} \right)_{ij}=\left(\left(\ mathbf {A} _{ij}\otimes \mathbf {B} _{kl}\right)_{kl}\right)_{ij}

Por ejemplo:

\mathbf {A} =\left[{\begin{matriz}{c |  c}\mathbf {A}_{11}&\mathbf {A}_{12}\\\hline \mathbf {A}_{21}&\mathbf {A}_{22}\end{matriz}} \right]=\left[{\begin{matriz}{cc |  c}1&2&3\\4&5&6\\\hline 7&8&9\end{array}}\right],\quad \mathbf {B} =\left[{\begin{array}{c |  c}\mathbf {B}_{11}&\mathbf {B}_{12}\\\hlínea \mathbf {B}_{21}&\mathbf {B}_{22}\end{matriz}} \right]=\left[{\begin{matriz}{c |  cc}1&4&7\\\hlínea 2&5&8\\3&6&9\end{matriz}}\right],

{\begin{alineado}\mathbf {A} \odot \mathbf {B} =\left[{\begin{matriz}{c |  c}\mathbf {A}_{11}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A}_{12}\odot \mathbf {B} \\\hline \mathbf {A}_{21}\odot \mathbf {B} &\mathbf {A} _{22}\odot \mathbf {B} \end{matriz}}\right]={}&\left[{\begin{matriz}{c |  do |  do |  c}\mathbf {A}_{11}\otimes \mathbf {B}_{11}&\mathbf {A}_{11}\otimes \mathbf {B}_{12}&\mathbf {A} _ {12}\otimes \mathbf {B}_{11}&\mathbf {A}_{12}\otimes \mathbf {B}_{12}\\\hline \mathbf {A}_{11}\otimes \mathbf {B}_{21}&\mathbf {A}_{11}\otimes \mathbf {B}_{22}&\mathbf {A}_{12}\otimes \mathbf {B}_{21 }&\mathbf {A}_{12}\otimes \mathbf {B}_{22}\\\hline \mathbf {A}_{21}\otimes \mathbf {B}_{11}&\mathbf { A} _{21}\otimes \mathbf {B}_{12}&\mathbf {A}_{22}\otimes \mathbf {B}_{11}&\mathbf {A}_{22}\otimes \mathbf {B} _{12}\\\hlínea \mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _{21}&\mathbf {A} _{21}\otimes \mathbf {B} _ {22}&\mathbf {A}_{22}\otimes \mathbf {B}_{21}&\mathbf {A}_{22}\otimes \mathbf {B}_{22}\end{matriz }}\right]\\={}&\left[{\begin{matriz}{cc |  cccc |  do |  cc}1&2&4&7&8&14&3&12&21\\4&5&16&28&20&35&6&24&42\\\hline 2&4&5&8&10&16&6&15&24\\3&6&6&9&12&18&9&18&27\\8&10&20&32&25&40&12&30&48\\12&15&24&36&30&45&18&36&54\\\hline 7&8&28&49&32&56&9&36&63\\\hline 14&16&35&56&40&64&18&45&72\\21&24&42&63&48&72&27&54&81\end{array}}\right].\end{aligned}}

Obra de Khatri-Rao

Esta variante de la multiplicación se define para matrices con la misma estructura de bloque. Dispone que la operación del producto de Kronecker se realiza bloque por bloque, dentro de los bloques de matrices del mismo nombre, por analogía con el producto de Hadamard por elementos , solo que en este caso aparecen como elementos bloques de matrices, y el producto de Kronecker es utilizado para multiplicar los bloques.

Notas

↑ Tracy, DS; Singh, RP (1972). “Un nuevo producto matricial y sus aplicaciones en diferenciación matricial”. Statistica Neerlandica . 26 (4): 143-157. DOI : 10.1111/j.1467-9574.1972.tb00199.x .
↑ Liu, S. (1999). "Resultados de la matriz sobre los productos Khatri-Rao y Tracy-Singh". Álgebra lineal y sus aplicaciones . 289 (1-3): 267-277. DOI : 10.1016/S0024-3795(98)10209-4 .

Literatura

Horn R. Análisis matricial: Per. De inglés. / R. Cuerno, Ch. Johnson. – M.: Mir, 1989.– 655 p.