Integral de Vinogradov

La integral de Vinogradov es una integral múltiple de la forma

\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}\ldots \int \limits _{0}^{1}|S|^{2k}\, d\alpha _{1}\,d\alpha _{2}\ldots d\alpha _{n},

dónde

S=\sum_{1\leqslant x\leqslant P}e^{2\pi i(\alpha_{1}x+\alpha_{2}x^{2}+\ldots +\alpha _ {n}x^{n})},

que es el valor medio de la potencia 2k del módulo de la suma trigonométrica. El teorema de Vinogradov sobre el valor de esta integral, el teorema del valor medio, subyace a las estimaciones de las sumas de Weyl . La integral se utiliza en la resolución de problemas de teoría analítica de números [1] .

El valor de la integral de Vinogradov corresponde al número de soluciones del siguiente sistema de ecuaciones:

{\begin{casos}x_{1}+\ldots +x_{k}=y_{1}+\ldots +y_{k},\\x_{1}^{2}+\ldots +x_ {k}^{2}=y_{1}^{2}+\ldots +y_{k}^{2},\\\cdots \\x_{1}^{n}+\ldots +x_{k }^{n}=y_{1}^{n}+\ldots +y_{k}^{n}.\end{casos}}

donde las incógnitas pueden tomar valores enteros de 1 a [1] [2] . ${\displaystyle x_{1},\ldots,x_{k},y_{1},\ldots,y_{k))$ $P,P\geqslant 1$

Notas

↑ 1 2 V. N. Chubarikov. Fórmulas asintóticas para la integral de I. M. Vinogradov y sus generalizaciones // Trudy Mat. Inst. Steklov. : Teoría de números, análisis matemático y sus aplicaciones. Colección de artículos. Dedicado a I. M. Vinogradov, miembro de la Academia de Ciencias con motivo de su 90 cumpleaños: [ ing. ] . - 1981. - T. 157. - S. 214-232.
↑ Gennady I. Arkhipov, Vladimir N. Chubarikov, Anatoly A. Karatsuba. Sumas Trigonométricas en Teoría y Análisis de Números . —Walter de Gruyter, 2004-01-01. - pág. 80. - 565 pág. — ISBN 9783110197983 .

Literatura

Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Una nueva estimación para la integral de I. M. Vinogradov // Izv. Academia de Ciencias de la URSS. Ser. estera. - 1978. - Nº 42. - S. 751-762.
Integral de Vinogradov // Enciclopedia matemática. Vol. 1 / Cap. edición I. M. Vinogradov. — M.: Enciclopedia soviética. — 1977.
Vinogradov I. M. El método de las sumas trigonométricas en la teoría de números. — M.: Nauka, 1971.

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