Serie temporal integrada

Una serie de tiempo integrada es una serie de tiempo no estacionaria , cuyas diferencias de algún orden son una serie de tiempo estacionaria . Estas series también se denominan estacionarias en diferencias (series DS, estacionarias en diferencias) . Un ejemplo de una serie de tiempo integrada es el paseo aleatorio , que a menudo se usa para modelar series de tiempo financieras.

Definición

Para definir una serie de tiempo integrada, es necesario definir una clase de serie de tiempo llamada serie estacionaria de tendencia ( TS -series, tendencia estacionaria). Una serie se denomina serie TS si existe alguna función determinista f(t) tal que la diferencia sea un proceso estacionario. En particular, la serie TS incluye todas las series estacionarias. Sin embargo, muchas series TS no son estacionarias. La serie TS también incluye, por ejemplo, un modelo de tendencia lineal (determinista) donde el error del modelo es un proceso estacionario (generalmente ruido blanco). $x_t$ $x_{t}-f(t)$ $x_{t}=a+bt+\varepsilon _{t}$

Se dice que una serie de tiempo está integrada de orden k (normalmente se escribe ) si las diferencias de la serie de orden k-ésimo son estacionarias, mientras que las diferencias de orden menor (incluyendo el orden cero, es decir, la propia serie de tiempo) no son TS- serie _ En particular , I(0) es un proceso estacionario. $X_{t}$ $X_{t}\sim I(k)$ $\vartriangulo ^{k}x_{t}$

Ejemplo

Considere un ejemplo: un proceso de caminata aleatoria con deriva (deriva), un proceso integrado de primer orden $yo(1)$

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}$

donde el error aleatorio del modelo es el ruido blanco . Las primeras diferencias de la serie temporal son obviamente estacionarias. Imaginemos el modelo en una forma ligeramente diferente:

$x_{t}=a+x_{{t-1}}+\varepsilon _{t}=a+a+x_{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _ {t}=a+a+a+x_{{t-3}}+\varepsilon _{{t-2}}+\varepsilon _{{t-1}}+\varepsilon _{t}=.. .=x_{0}+en+\sum_{{i=1}}^{{t}}\varepsilon_{i}$

Por lo tanto, una caminata aleatoria con deriva parece un modelo de tendencia lineal con una diferencia muy significativa: la varianza del error del modelo es proporcional al tiempo, es decir, tiende a infinito con el tiempo. Además, la expectativa matemática de un error aleatorio es cero. Incluso si aplicamos el procedimiento para excluir una tendencia lineal (determinista) a la serie de tiempo, aún obtenemos un proceso no estacionario: una tendencia estocástica. $V(\sum_{{i=1}}^{{t}}\varepsilon_{i})=t\sigma^{2}$

Integración y raíces unitarias

El concepto de serie temporal integrada está estrechamente relacionado con las raíces unitarias en los modelos autorregresivos . La presencia de raíces unitarias en el polinomio característico de la componente autorregresiva del modelo de series temporales significa que la serie temporal está integrada. Además, el número de raíces unitarias coincide con el orden de integración.

Véase también

Literatura

Ayvazyan S.A. Estadísticas aplicadas. Fundamentos de econometría. Volumen 2. - M. : Unity-Dana, 2001. - 432 p. - ISBN 5-238-00305-6 .
Magnus Ya.R., Katyshev P.K., Peresetsky A.A. Econometría. Curso inicial. - M. : Delo, 2007. - 504 p. - ISBN 978-5-7749-0473-0 .
Econometría. Libro de texto / Ed. Eliseeva II - 2ª ed. - M. : Finanzas y estadísticas, 2006. - 576 p. — ISBN 5-279-02786-3 .