Modelo autorregresivo

El modelo autorregresivo ( AR- ) ( modelo autorregresivo en inglés ) es un modelo de serie temporal en el que los valores de la serie temporal en el momento dependen linealmente de los valores anteriores de la misma serie. Un proceso autorregresivo de orden p (AR( p )-proceso) se define como sigue

X_{t}=c+\sum_{{i=1}}^{p}a_{i}X_{{ti}}+\varepsilon_{t},

donde son los parámetros del modelo (coeficientes de autorregresión), es una constante (a menudo se supone que es cero por simplicidad) y es ruido blanco . $a_{1},\ldots,a_{p}$ $C$ $\varepsilon _{t}$

El ejemplo más simple es el proceso AR(1) autorregresivo de primer orden:

X_{t}=c+rX_{{t-1}}+\varepsilon _{t}

Para este proceso, el coeficiente autorregresivo es el mismo que el coeficiente de autocorrelación de primer orden.

Otro proceso simple es el proceso Yule, un proceso AR(2):

X_{t}=c+a_{1}X_{{t-1}}+a_{2}X_{{t-2}}+\varepsilon _{t}

Representación del operador

Si introducimos un operador de rezago , entonces el modelo autorregresivo se puede representar de la siguiente manera $L:Lx_{t}=x_{{t-1}}$

X_{t}=c+\sum_{{i=1}}^{p}a_{i}L^{i}X_{{t}}+\varepsilon_{t},

a(L)X_{t}=(1-\sum_{{i=1}}^{p}a_{i}L^{i})X_{{t}}=c+\varepsilon_{t}

La estacionariedad del proceso autorregresivo depende de las raíces del polinomio característico . Para que el proceso sea estacionario [1] , es suficiente que todas las raíces del polinomio característico estén fuera del círculo unitario en el plano complejo . $a(z)=1-\sum_{{i=1}}^{n}a_{i}z^{i}$ $|z|>1$

En particular, para el proceso AR(1) , por lo tanto, la raíz de este polinomio , por lo que la condición de estacionariedad se puede escribir como , es decir, el coeficiente de autorregresión (en este caso, el coeficiente de autocorrelación) debe ser estrictamente menor que 1 módulo . $a(z)=1-rz$ $z=1/r$ $|r|<1$

Para un proceso AR(2), se puede demostrar que las condiciones de estacionariedad tienen la forma: . $|a_{2}|<1,a_{2}\pm a_{1}<1$

Los procesos AR estacionarios permiten la descomposición de Wold, una representación en forma de un proceso MA infinito :

$X_{t}=a^{{-1}}(L)c+a^{{-1}}(L)\varepsilon _{t}={\frac {c}{1-\sum_{{ i=1}}^{p}a_{i}}}+\sum_{{j=0}}^{{\infty}}b_{j}\varepsilon_{{tj}}$

El primer término es la expectativa matemática del proceso AR. Si c=0, entonces la expectativa del proceso también es cero.

Función de autocorrelación

Se puede demostrar que las funciones de autocovarianza y autocorrelación del proceso AR(p) satisfacen las relaciones recursivas:

$\gamma (k)=\sum_{{j=1}}^{p}a_{j}\gamma (kj)~~~~~r(k)=\sum_{{j=1}}^ {p}a_{j}r(kj)$

En el caso más simple de un proceso AR(1), la media es , la varianza es y la autocorrelación es . ${\ estilo de visualización \ mu = c/(1-r)}$ $\gamma (0)=\sigma_{\varepsilon}^{2}/(1-r^{2})$ $r(k)=r\cdot r(k-1)~\Rightarrow ~r(k)=r^{k}$

En el caso general, la expresión para la expectativa matemática a través de los parámetros del modelo se indicó anteriormente, sin embargo, la expresión para la dispersión de la serie de tiempo es mucho más complicada. Se puede demostrar que la varianza de la serie y el vector de autocovarianza se expresan en términos de parámetros de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización \ gamma (0)}$ $\gama$

${\displaystyle \gamma (0)=(1+a^{T}(C-aa^{T})^{-1}a)\sigma_{\varepsilon}^{2))$ , $\gamma =\sigma_{\varepsilon}^{2}(C-aa^{T})^{-1}a$

donde es el vector de parámetros, es la matriz de orden , cuyos elementos se definen de la siguiente manera. Los elementos de la diagonal son iguales . Los elementos por encima de la diagonal son iguales , y los elementos por debajo de la diagonal son iguales . Aquí se entiende que si el índice excede el orden del modelo , entonces el valor correspondiente se establece en cero. $a$ $C$ $pags$ $c_{ii}=1-a_{2i}$ $-a_{2i+j-1}$ $-(a_{j}+a_{2i-j})$ $pags$

En particular, para un proceso AR(1), la matriz es solo una, por lo tanto, que corresponde a la fórmula anterior. $C$ $\gamma (0)=(1+{\frac {a^{2}}{1-a^{2}}})\sigma_{\varepsilon}^{2}$

Para el proceso , la matriz de segundo orden se define de la siguiente manera: la primera fila es ( ;0), la segunda es ( ;1). Aplicando la fórmula anterior, puede obtener la siguiente expresión para la varianza de este proceso: ${\ estilo de visualización AR (2)}$ $C$ ${\ estilo de visualización 1-a_ {2}}$ ${\ estilo de visualización -a_ {1}}$

$\gamma (0)={\frac {(1-a_{2})\sigma_{\varepsilon}^{2}}{(1+a_{2})((1-a_{2} )^{2}-a_{1}^{2})}}$

En la práctica, normalmente no se utilizan fórmulas para la varianza del proceso expresada en términos de parámetros del modelo, pero se utiliza la siguiente expresión en términos de covarianzas:

$\gamma (0)=\sigma_{\varepsilon}^{2}+\sum_{k=1}^{p}a_{k}\gamma (k)$

La función de autocorrelación del proceso autorregresivo decae exponencialmente con posibles oscilaciones (las oscilaciones dependen de la presencia de raíces complejas del polinomio característico). En este caso, la función de autocorrelación parcial para k>p es igual a cero. Esta propiedad se utiliza para identificar el orden del modelo AR a partir de la función de autocorrelación parcial de muestra de la serie temporal.

Para un proceso AR(1), la función de autocorrelación es una función que decae exponencialmente (sin oscilaciones) si se cumple la condición de estacionariedad. La función de autocorrelación parcial de primer orden es r, y para órdenes superiores es 0.

Estimación de los parámetros del modelo

Teniendo en cuenta la paridad de la función de autocorrelación y usando la relación de recurrencia para las primeras p autocorrelaciones, obtenemos el sistema de ecuaciones de Yule-Walker [2] :

$1\leqslant k\leqslant p~,~\sum _{{j=1}}^{p}a_{j}r(|kj|)=r(k)$

o en forma matricial

$Ra=r~,~\Rightarrow a=R^{{-1}}r~,~~R={\begin{pmatrix}1&r_{1}&r_{2}&...&r_{{p-1} }\\r_{1}&1&r_{1}&...&r_{{p-2}}\\r_{2}&r_{1}&1&...&r_{{p-3}}\\... \\r_{{p-1}}&r_{{p-2}}&r_{{p-3}}&...&1\\\end{pmatrix}}$

Si usamos autocorrelaciones de muestra en lugar de autocorrelaciones verdaderas (desconocidas), obtendremos estimaciones de coeficientes de autorregresión desconocidos. Se puede demostrar que este método de estimación es equivalente al método de mínimos cuadrados ordinarios (OLS) . Si los errores aleatorios del modelo se distribuyen normalmente, entonces este método también es equivalente al método de máxima verosimilitud condicional . Para obtener estimaciones más precisas en este último caso, se puede utilizar el método de máxima verosimilitud total, que utiliza información sobre la distribución de los primeros miembros de la serie. Por ejemplo, en el caso de un proceso AR(1), la distribución del primer término se toma igual a la distribución incondicional de la serie temporal (distribución normal con expectativa matemática y varianza incondicional de la serie).

Modelos autorregresivos estacionales

Los modelos AR se pueden utilizar para modelar la estacionalidad. Dichos modelos se denominan SAR (Seasonal AR). Por ejemplo, dados los datos trimestrales y asumiendo la estacionalidad trimestral, se podría construir el siguiente modelo SAR(4):

$y_{t}=a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}$

De hecho, este es un modelo AR ordinario con una restricción en los parámetros del modelo (parámetros iguales a cero para retrasos menores a 4). En la práctica, la estacionalidad se puede combinar con la autorregresión convencional, por ejemplo:

$y_{t}=a_{1}y_{{t-1}}+a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}$

En algunos casos, los modelos estacionales son útiles, en los que el error aleatorio está sujeto a algún proceso AR:

$y_{t}=a_{4}y_{{t-4}}+\varepsilon _{t}~,~\varepsilon _{t}=a_{1}\varepsilon _{{t-1}}+u_ {t}$

Es fácil ver que dicho modelo en forma de operador se puede escribir como:

$(1-a_{1}L)(1-a_{4}L^{4})y_{t}=u_{t}$

Tal modelo se llama . $AR(1)\veces SAR(4)$

Véase también

Notas

↑ Ecuación en diferencias y sucesión recurrente . Consultado el 18 de julio de 2015. Archivado desde el original el 21 de julio de 2015. (indefinido)
↑ Secuencias de Markov (enlace inaccesible) . Consultado el 18 de julio de 2015. Archivado desde el original el 21 de julio de 2015. (indefinido)