Fórmula de interpolación de Brahmagupta

La fórmula de interpolación de Brahmagupta es una fórmula de interpolación de segundo orden polinomial, encontrada por el matemático y astrónomo indio Brahmagupta (598-668) a principios del siglo VII d.C. Una descripción poética de esta fórmula en sánscrito se encuentra en la parte adicional del Khandakhodyaka, un trabajo completado por Brahmagupta en 665 [1] . El mismo pareado se encuentra en su obra anterior Dhyana-graha-adhikara, cuya fecha exacta no se ha establecido. Sin embargo, la interconexión interna de las obras sugiere que fue creada antes que la obra principal del científico, completada en 628, “ Brahma-sphuta-siddhanta ”, por lo que se puede atribuir la creación de una fórmula de interpolación de segundo orden al primer cuarto del siglo VII [1] . Brahmagupta fue el primero en encontrar y utilizar la fórmula de diferencias finitas de segundo orden en la historia de las matemáticas [2] [3] .

La fórmula de Brahmagupta coincide con la fórmula de interpolación de segundo orden de Newton , que fue encontrada (redescubierta) después de más de mil años.

Reto

Como astrónomo, Brahmagupta estaba interesado en derivar valores precisos para el seno a partir del pequeño número de valores tabulados conocidos para esta función. Así, se enfrentó a la tarea de encontrar el valor , según los valores de la función disponibles en la tabla: $f(x)$ $x_{r}<x<x_{{r+1}}$

$X$	$x_{1}$	$x_{2}$	…	$x_{r}$	$x_{r+1}$	$x_{r+2}$	…	$x_{n}$
$f(x_r)$	$f_1$	$f_{2}$	…	$f_{r}$	$f_{r+1}$	$f_{r+2}$	…	$f_n$

Siempre que los valores de la función se calculen en puntos con un paso constante ( para todos ), Aryabhata sugirió usar primeras diferencias finitas (tabulares) para los cálculos: $h$ $x_{{r+1}}-x_{r}=h$ $r$

D_{r}=f_{{r+1}}-f_{r}

Los matemáticos antes de Brahmagupta usaron la fórmula de interpolación lineal obvia

f(x)=f_{r}+tD_{r}

donde _ $t=(x-x_{r})/h$

Brahmagupta reemplazó esta fórmula con una función de arco de diferencias finitas, lo que permite obtener valores más precisos de la función interpolada en orden. $Dr}$

Algoritmo de cálculo de Brahmagupta

En la terminología de Brahmagupta, la diferencia se llama segmento pasado (गत काण्ड), el segmento útil se llama (भोग्य काण्ड). La longitud del segmento hasta el punto de interpolación en minutos se denomina muñón (विकल). La nueva expresión que se reemplazará se denomina segmento útil correcto (स्फुट भोग्य काण्ड). El cálculo del segmento útil correcto se describe en el pareado [4] [1] : $D_{{r-1}}$ $Dr}$ $x-x_{r}$ $Dr}$

Según el comentario de Bhuttopala (siglo X), los versos se traducen de la siguiente manera [ 1 ] [ 5 ] : Si es más, resta. Obtendrá la diferencia útil correcta [6] .

900 minutos (15 grados) es el intervalo entre los argumentos de la tabla de valores del seno que utiliza Brahmagupta. $h$

Fórmula de Brahmagupta en notación moderna

En notación moderna, el algoritmo de cálculo de Brahmagupta se expresa mediante las fórmulas:

{\begin{alineado}f(x)&=f_{r}+t({\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}}+t{\frac {D_{{ r}}-D_{{r-1}}}{2}})\\&=f_{r}+t{\frac {D_{r}+D_{{r-1}}}{2}} +t^{2}{\frac {D_{{r}}-D_{{r-1}}}{2}}.\end{alineado}}

Esta es la fórmula de interpolación de segundo orden de Newton [7] [8] .

Prueba

No se sabe cómo Brahmagupta obtuvo esta fórmula [1] . En nuestro tiempo, tales fórmulas se prueban usando la expansión de funciones en la derecha para hacer crecer igualdades en una serie de Taylor en un punto . Sin embargo, la fórmula también se puede demostrar por métodos elementales: después del reemplazo, la fórmula de Brahmagupta establece una parábola que pasa por tres puntos . Para derivar esta fórmula, basta encontrar los coeficientes de esta parábola resolviendo un sistema de tres ecuaciones lineales definidas por estos puntos. $f(x+kh),k=1,2,...$ $X$ $t=(x-x_{r})/h$ $(x_{{r-1}},f_{{r-1}}),(x_{r},f_{r}),(x_{{r+1}},f_{{r+1}} )$

Fórmula de precisión

El cálculo por computadora muestra que al tener una tabla de 7 valores del seno en los nodos con un paso de 15 grados, Brahmagupta podría calcular esta función con un error máximo de no más de 0.0012 y un error promedio de no más de 0.00042.

Notas

↑ 1 2 3 4 5 Gupta, RC Interpolación de segundo orden en las matemáticas indias hasta el siglo XV // Indian Journal of History of Science: revista. — vol. 4 , núm. 1 y 2 - P. 86-98 .
↑ Van Brummelen, CañadaLas matemáticas de los cielos y la tierra: la historia temprana de la trigonometría (inglés) . - Prensa de la Universidad de Princeton , 2009. - Pág. 329. - ISBN 9780691129730 . (pág. 111)
↑ Meijering, Erik. Una cronología de la interpolación desde la astronomía antigua hasta el procesamiento moderno de señales e imágenes // Actas del IEEE : diario. - 2002. - marzo ( vol. 90 , no. 3 ). - pág. 319-342 . -doi : 10.1109/ 5.993400 .
↑ Dhyana-Graha-Upadesa-Adhyaya, 17; Khandaka Khadyaka, IX, 8
↑ Raju, C K. Fundamentos culturales de las matemáticas: la naturaleza de la prueba matemática y la transmisión del cálculo de la India a Europa en el siglo XVI. CE (inglés) . — Pearson Educación India, 2007. - Págs. 138-140. — ISBN 9788131708712 .
↑ La parte final del algoritmo se debe al hecho de que los matemáticos anteriores a Brahmagupta y durante mucho tiempo después de él no utilizaron el concepto de número negativo. Por lo tanto, no se calculó realmente la diferencia, sino el módulo de la diferencia , y luego se sumó o restó este número no negativo, según el signo de la diferencia, determinado usando la desigualdad. ${\frac{|D_{{r-1}}-D_{{r}}|}{2}}$
↑ Milne-Thomson, Louis Melville. El Cálculo de Diferencias Finitas (neopr.) . - AMS Chelsea Publishing, 2000. - S. 67-68. — ISBN 9780821821077 .
↑ Hildebrand, Francis Begnaud. Introducción al análisis numérico (neopr.) . - Publicaciones Courier Dover , 1987. - S. 138 -139. — ISBN 9780486653631 .