Interpolación por polinomios algebraicos

Interpolación por polinomios algebraicos de una función de un argumento real sobre un segmento - encontrar los coeficientes de un polinomio de grado menor o igual que toma valores del argumento , el conjunto se denomina nodos de interpolación : $f(x)$ $[a,b]$ $p_n(x)$ $norte$ $x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n$ $f(x_{i})$ $x_0,\ x_1,\ \ldots,\ x_n$

P_{n}(x_{i})=f(x_{i}),\quad i=0,\ 1,\ ...,\ n.

El sistema de ecuaciones algebraicas lineales que determinan los coeficientes de tal polinomio tiene la forma: $ai}$

P_{n}(x_{i})=a_{0}+a_{1}x_{i}+a_{2}x_{i}^{2}+\ldots +a_{n}x_{ i}^{n}=f(x_{i}),\quad i=0,\ 1,\ \ldots,\ n.

Su determinante es el determinante de Vandermonde .

\triangle ={\begin{vmatrix}1&x_{0}&x_{0}^{2}&...&x_{0}^{n}\\1&x_{1}&x_{1}^{2} &...&x_{1}^{n}\\.......\\1&x_{n}&x_{n}^{2}&...&x_{n}^{n}\end{ vmatriz}}=\prod _{i,j=0 \atop i>j}^{n}(x_{i}-x_{j}).

Es distinto de cero para cualquier par de valores diferentes de , y la interpolación de una función por sus valores en los nodos usando un polinomio siempre es posible y única. $x_{yo}$ $f(x)$ $x_{yo}$ $p_n(x)$

Aplicación

La fórmula de interpolación resultante se usa a menudo para el cálculo aproximado de valores de función para valores de argumento distintos de los nodos de interpolación. A su vez, se distingue interpolación en sentido estricto , cuando , y extrapolación , cuando . ${\ estilo de visualización f (x) \ aproximadamente P_ {n} (x)}$ $F$ $X$ $x\in\left[a,b\right]$ $x\not \in \left[a,b\right]$

Problema de interpolación en el espacio

Deje que se den puntos en el espacio que tengan radios vectores en algún sistema de coordenadas $norte$ ${\displaystyle P_{1},\ P_{2},\ \puntos,\ P_{n))$ $\mathbf {r} _{1},\ \mathbf {r} _{2},\ \puntos,\ \mathbf {r} _{n}.$

La tarea de la interpolación es construir una curva que pase por los puntos especificados en el orden especificado.

Solución del problema

Se puede dibujar un número infinito de curvas a través de un conjunto ordenado fijo de puntos, por lo que el problema de la interpolación por una función arbitraria no tiene una solución única. Para la unicidad de la solución, es necesario imponer ciertas restricciones en la forma de la función.

Construiremos curvas en la forma , donde el parámetro cambia en un cierto intervalo : ${\ matemáticas {r}} (t)$ $t$ $[a,\b]$

{\ estilo de visualización a \ leq t \ leq b}

Introduzcamos una cuadrícula de puntos en el segmento : y exijamos que, para el valor del parámetro , la curva pase por el punto , de modo que ${\ estilo de visualización [a, b]}$ ${\ estilo de visualización \ {t_ {i} \}}$ $norte$ $a=t_{1}<t_{2}<t_{3}<\dots <t_{n}=b$ ${\ Displaystyle t = t_ {i}}$ $Pi}$ $\mathbf {r} (t_{i})=\mathbf {r} _{i}.$

La introducción de parametrización y grid se puede realizar de varias formas. Por lo general, se elige una cuadrícula uniforme, suponiendo que , , o, más preferiblemente, los puntos están conectados por segmentos y la longitud del segmento se toma como la diferencia entre los valores de los parámetros . ${\ estilo de visualización a = 0}$ ${\ estilo de visualización b = n-1}$ ${\ estilo de visualización t_ {i} = i-1}$ ${\displaystyle t_{i+1}-t_{i))$ ${\displaystyle \mathbf {r} _{i+1}-\mathbf {r} _{i))$

Uno de los métodos comunes de interpolación es utilizar la curva como un polinomio de grado , es decir, como una función: $t$ $n-1$

\mathbf {r} (t)=\mathbf {p} ^{(n-1)}(t)=\sum_{k=1}^{n}\mathbf {a}_{k} t^{nk}.

El polinomio tiene coeficientes que se pueden encontrar a partir de las condiciones: $norte$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {k}}$

\mathbf {r} (t_{i})=\mathbf {r} _{i}.

Estas condiciones conducen a un sistema de ecuaciones lineales para los coeficientes : ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {k}}$

${\begin{pmatrix}1&t_{1}&t_{1}^{2}&\ldots &t_{1}^{n-1}\\1&t_{2}&t_{2}^{2}&\ ldots &t_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&t_{n}&t_{n}^{2}&\ldots &t_{n}^{n-1 }\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {a} _{n}\\\mathbf {a} _{n-1}\\\vdots \\\mathbf {a} _{1} \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {r} _{1}\\\mathbf {r} _{2}\\\vdots \\\mathbf {r} _{n}\end {matrix}}$

Tenga en cuenta que para encontrar los coeficientes, por ejemplo, en el espacio tridimensional, se deben resolver tres sistemas de ecuaciones: para y coordenadas . Todos ellos tienen una matriz de coeficientes, invirtiendo la cual, por los valores de los vectores de radio de los puntos, se calculan los vectores de los coeficientes del polinomio. Determinante matricial $X$ $y$ $z$ ${\mathbf{r}}_{i}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {a} _ {k}}$

$W(t_{1},t_{2},\ldots,t_{n})={\begin{vmatrix}1&t_{1}&t_{1}^{2}&\ldots &t_{1}^ {n-1}\\1&t_{2}&t_{2}^{2}&\ldots &t_{2}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots \\1&t_{n }&t_{n}^{2}&\ldots &t_{n}^{n-1}\end{vmatriz}}=\prod _{i,j,i>j}(t_{i}-t_{j })$

se llama determinante de Vandermonde . Si los nodos de la cuadrícula no coinciden, es distinto de cero y el sistema de ecuaciones tiene una solución única.

Además de la inversión de matriz directa, existen otras formas de calcular el polinomio de interpolación. Debido a la singularidad del polinomio, estamos hablando de varias formas de su escritura.

Beneficios

Para un conjunto dado de puntos y una cuadrícula de parámetros, la curva se construye de forma única.
La curva es interpoladora, es decir, pasa por todos los puntos dados.
La curva tiene derivadas continuas de cualquier orden.

Desventajas

A medida que aumenta el número de puntos, aumenta el orden del polinomio, y con él aumenta el número de operaciones que se deben realizar para calcular un punto sobre la curva.
A medida que aumenta el número de puntos, la curva de interpolación puede oscilar (ver el ejemplo a continuación).
Con un aumento en el número de puntos, es poco adecuado para la extrapolación , ya que el valor del polinomio de grado fuera del segmento de interpolación siempre diverge hacia el infinito (cuanto más rápido, más ) independientemente de la convergencia de la función extrapolada. $n>0$ $norte$

Ejemplo

Un ejemplo clásico ( Runge ), que muestra la ocurrencia de oscilaciones en un polinomio de interpolación, es la interpolación en una cuadrícula uniforme de valores de funciones $f(x)={\frac{1}{1+x^{2))}.$

Introduzcamos una cuadrícula uniforme , sobre el segmento y consideremos el comportamiento del polinomio que toma los valores en los puntos . ${\ estilo de visualización [-5,5]}$ $x_{i}=-5+(i-1)h$ ${\ estilo de visualización h = 10/(n-1)}$ ${\ estilo de visualización 1 \ leq i \ leq n}$ $y(x)=\sum _{i=1}^{n}a_{i}x^{ni},$ $x_{yo}$ $y_{i}=1/(1+x_{i}^{2})$

La figura muestra los gráficos de la función en sí (línea de trazos y puntos) y tres curvas de interpolación para : ${\ estilo de visualización n = 3,5,9}$

interpolación en la cuadrícula - parábola cuadrática; ${\ estilo de visualización x_{1}=-5,x_{2}=0,x_{3}=5}$
la interpolación en la cuadrícula es un polinomio de cuarto grado; ${\ estilo de visualización x_{1}=-5,x_{2}=-2,5,x_{3}=0,x_{4}=2,5,x_{5}=5}$
la interpolación en la cuadrícula es un polinomio de octavo grado. $x_{1}=-5,x_{2}=-3,75,x_{3}=-2,5,x_{4}=-1,25,x_{5}=0,x_{6}=1,25,x_ {7}=2,5,x_{8}=3,75,x_{9}=5$

Los valores del polinomio de interpolación, incluso para funciones suaves en puntos intermedios que no coinciden con los nodos de la interpolación, pueden desviarse fuertemente de los valores de la función misma, tal comportamiento del polinomio se denomina oscilaciones.