Grado de un polinomio

En el conjunto de los números complejos, el grado de un polinomio en una variable es el número de todas sus raíces , teniendo en cuenta su multiplicidad . Del teorema principal del álgebra y del corolario del teorema de Bezout se sigue que cualquier polinomio p ( x ) de grado n se puede representar como a ( x − x 1 )…( x − x n ), donde x 1 , …, x n son todas las raíces complejas del polinomio, teniendo en cuenta la multiplicidad, y la constante a ≠ 0 es el coeficiente principal del polinomio. Abriendo los paréntesis en la expresión a ( x − x 1 )…( x − x n ), se puede obtener una definición equivalente: el grado de un polinomio en una variable es el máximo de los grados de todos sus términos monomiales que son no idénticamente igual a cero.

Esta definición tiene una generalización: el grado completo de un polinomio con varias variables es el máximo de los grados de todos sus monomios, que no son idénticamente iguales a cero, respecto de todas las variables que participan en ellos simultáneamente .

Una ecuación polinomial de d variables, que, usando transformaciones equivalentes, puede reducirse a la forma p ( x 1 ,…, x d ) = 0, donde el polinomio p ( x 1 , …, x d ) tiene grado n , es llamada ecuación (polinomial) de grado n .

El grado de un polinomio se denota deg ( grado inglés , grado francés , del latín gradus + de - ). [una]

Nombres de ciertos grados

El grado de un polinomio que es idénticamente igual a cero no está definido, pero en algunos casos se toma igual a −1 o −∞ ( abajo ). [2]
El grado de una constante distinta de cero es 0.
El grado de un polinomio lineal es 1. Una ecuación en la que una función lineal es igual a cero es una ecuación de primer grado .
El grado de un polinomio cuadrático es 2. La ecuación correspondiente es una ecuación de segundo grado .
El grado del polinomio cúbico es 3. Le corresponde la ecuación de 3er grado .

En un espacio euclidiano d - dimensional ( d − 1) - superficie dimensional , que es una solución de la ecuación p ( x 1 ,…, x d ) = 0 de grado n con coordenadas cartesianas x 1 , …, x d , es llamado ( d − 1)- superficie dimensional del n-ésimo orden. El término orden en realidad significa el grado de una ecuación . Nombres separados para hipersuperficies:

una cuádrica es una hipersuperficie de segundo orden. En el caso unidimensional, una cuádrica es una cónica - una curva plana , una de las formas equivalentes de obtenerla es intersecar un cono circular recto con un plano;
la cúbica es una hipersuperficie de tercer orden. Ejemplos de cubos planos: cubo de Tschirnhaus , parábola semicúbica ;
una cuártica es una hipersuperficie de cuarto orden: por ejemplo, la cuártica de Luroth .

Ejemplos

El polinomio x ( x − 2) tiene el segundo grado, ya que consta de dos factores lineales.
Para el polinomio (2 x − 1)(3 x − 2), los coeficientes 2 y 3 se pueden quitar entre paréntesis: 2 × 3( x −una2)( x -23), por lo que tiene grado 2.
El polinomio 16 x 5 + (−20) x 3 + 5 x + (−1) tiene el monomio de mayor grado 16 x 5 , lo que significa que el grado del polinomio es 5.
Los polinomios se pueden escribir en forma no canónica: por ejemplo, el polinomio ( x 2 + 1) 2 − (− x 2 + 1) 2 tiene grado 2, ya que es un monomio 2 x 2 .
El polinomio 2(2 x − y ) xy es de tercer grado.
El polinomio x 2 + y tiene un segundo grado, ya que el monomio de mayor grado es igual a x 2 , y este polinomio ya no se puede factorizar en factores lineales de x e y .
El grado del polinomio xy + y + x es 2.

El grado de un polinomio bajo operaciones sobre ellos

Multiplicación

Multiplicar un polinomio p ( x ) distinto de cero por una constante c distinta de cero no cambia el grado:

\deg {\big (}cp(x){\big )}=\deg p(x).

Por ejemplo, el grado del polinomio 6( x −una2)( x -23) = 6 x 2 − 5 x + 2, así como ( x −una2)( x -23) = x2 +−56x +una3, es igual a 2. En un caso más general, el grado del producto de los polinomios p ( x ) y q ( x ) es igual a la suma de los grados de estos polinomios: [3] [4]

\deg {\big (}p(x)q(x){\big )}=\deg p(x)+\deg q(x).

Por ejemplo, el grado del polinomio ( x 2 + 1) ( x 3 - x - 1) = x 5 - x 2 - x - 1 es 2 + 3 = 5.

Suma, resta

El grado de la suma de polinomios distintos de cero no puede ser mayor que el máximo de sus grados: [5] [6]

\deg {\big (}p(x)+q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){ \grande )}.

La misma desigualdad se cumple para la diferencia:

\deg {\big (}p(x)-q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg(-1\cdot q(x)){\big )}=\max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.

Además, si los grados de los términos del polinomio difieren, entonces las relaciones anteriores se convierten en igualdades. Por ejemplo, el polinomio ( x 2 + 1) 2 tiene el cuarto grado, ( x + 1) 2 - el segundo, y los polinomios ( x 2 + 1) 2 ± ( x + 1) 2 - el cuarto.

Composición

Sean p ( x ) y q ( x ) polinomios distintos de cero. Entonces: [7]

\grados[q\circ p(x)]=\grados[p\circ q(x)]=\grados p(x)\grados q(x).

Por ejemplo, si p ( x ) = x 2 + 1, q ( x ) = x 3 + 1, entonces los grados de los polinomios p ∘ q ( x ) = x 6 + 2 x 3 + 2 y q ∘ p ( x ) = x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 2 es 2 x 3 = 6.

Grado de un polinomio en varias variables

Como en el caso de una sola variable, el grado (total) de un monomio de varias variables es la suma de todos los exponentes de todas las variables en el monomio. Por ejemplo, el grado completo del monomio x 1 y 2 x 3 con respecto a x e y es 1 + 2 + 3 = 6.

A su vez, el grado (completo) de un polinomio en varias variables es el máximo de los grados de todos sus monomios. Ejemplo: el polinomio xy + y + x tiene grado 2 porque el monomio de mayor grado es xy .

Además, también se puede considerar el grado de un polinomio de varias variables con respecto a una de las variables. Por ejemplo, el polinomio x 2 + y 2 + xy + x + y tiene el segundo grado con respecto a x y el mismo grado con respecto a y . Además, con respecto a x , este polinomio se descompone en factores lineales complejos de la siguiente manera:

x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(x-{\tfrac {-y-1-{\sqrt {(y+1)(-3y+1) ))}{2}}\derecha)\izquierda(x-{\tfrac {-y-1+{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\derecha),

y para y :

x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(y-{\tfrac {-x-1-{\sqrt {(x+1)(-3x+1) ))}{2}}\right)\left(y-{\tfrac {-x-1+{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\right).

A veces, el grado de un polinomio con respecto a una variable particular puede verse influenciado por otras variables: por ejemplo, un polinomio ( x 2 + 1) y 2 + ( x + 1) y + 1 de cuarto grado es cuadrado con respecto a y sólo si x no es igual a ±i, caso contrario, el monomio ( x 2 + 1) y 2 se anula y el polinomio se vuelve lineal: no se puede descomponer en dos factores lineales (con respecto a y ).

Grado de un polinomio cero

El grado de un polinomio igual a 0 para cualquier valor de la(s) variable(s) se considera indefinido [8] o negativo , generalmente −1 [9] o −∞. [2] [10]

En el caso de que el grado de dicho polinomio no esté definido, se supone que el polinomio cero, estrictamente hablando, no tiene ningún término monomio, que no sería idénticamente igual a cero. En consecuencia, para el polinomio cero, ninguna de las propiedades anteriores de los grados se introduce en absoluto cuando se transforman polinomios.

En este caso, cuando el grado del polinomio cero se toma igual a −∞, se conservan todas las propiedades dadas anteriormente, excluyendo, quizás, la composición. Para cualquier número real n , por definición, se cumplen las siguientes propiedades ( propiedades de la recta numérica afínmente extendida ):

$\max(-\infty,n)=n;$
$-\infty +n=-\infty.$ [diez]

En consecuencia, los grados de los polinomios se “comportan” de la siguiente manera: si p ( x ) es un polinomio distinto de cero de grado n , entonces

$\deg(p(x)+0)=\deg p(x)=n\leqslant \max(\deg p(x),\deg 0)=\max(n,-\infty )=n ;$
$\deg(p(x)\cdot 0)=\deg 0=-\infty,$ y por otro lado, $\deg p(x)+\deg 0=n-\infty =-\infty .$

Notas

↑ Eric W. Weisstein. Grado de polinomio . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 28 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 3 de junio de 2021.
↑ 1 2Eric W. Weisstein. Polinomio cero . mundomatemático.wolfram.com . Consultado el 28 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 1 de mayo de 2021.
↑ Serge Lang. álgebra _ - 3. - Nueva York: Springer-Verlag, 2002. - (Textos de posgrado en Matemáticas). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Sergio Leng . Álgebra. - Springer, 2005. - Pág. 100. - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ álgebra abstracta - El grado de una suma de dos polinomios (pregunta de prueba) . Intercambio de pila de matemáticas . Recuperado: 28 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Grado de suma de polinomios - TheoremDep . sharmaeklavya2.github.io . Consultado el 28 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 20 de enero de 2021. (indefinido)
↑ precálculo de álgebra - ¿Para qué sirve la composición polinomial? . Intercambio de pila de matemáticas . Recuperado: 28 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Shafarevich, Igor Rostislavovich . Clases de álgebra . — Pág. 25. Archivado el 2 de junio de 2021 en Wayback Machine .
↑ Childs, Lindsay. Una introducción concreta al álgebra superior . - 1995. - Pág. 233. Copia de archivo del 2 de junio de 2021 en la Wayback Machine .
↑ 1 2 Childs, Lindsay. Una introducción concreta al álgebra superior. . — 2009. Archivado el 2 de junio de 2021 en Wayback Machine .