Interpolación con múltiples nodos

La interpolación con múltiples nodos es el problema de construir un polinomio de grado mínimo , que toma en algunos puntos ( nodos de interpolación ) valores dados, así como valores dados de derivadas hasta cierto orden .

Se muestra que existe un único polinomio de grado que cumple las condiciones: $\P_n(x)$ $\norte$

P_{n}^{(k)}(x_{i})=f_{i,k},i=1,\cdots,m;k=0,\cdots,n_{i}-1

, donde .

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{m}=n+1

Este polinomio se llama polinomio de nudos múltiples o polinomio de Hermite . En general:

P_{n}(x)=\sum_{i=1}^{m}\sum_{k=0}^{n_{i}-1}l_{i,k}(x)f_ {yo, k}

, es el número de nodos y es la multiplicidad del nodo .

\metro

{\ estilo de visualización \ n_ {i}}

\x_{yo}

Charles Hermite demostró que

l_{i,k}(x)=\left[{\frac {1}{k!}}{\frac {\prod_{j=1}^{m}(x-x_{j} )^{n_{j}}}{(x-x_{i})^{n_{i}}}}\right]\sum _{s=0}^{n_{i}-k-1}c_ {s}^{i}(x-x_{i})^{k+s}

, donde son los coeficientes de la serie de Taylor para la función .

{\ estilo de visualización \ c_ {s} ^ {i}}

{\frac {(x-x_{i})^{n_{i))}{\prod_{j=1}^{m}(x-x_{j})^{n_{j} }}}=\sum_{s=0}^{\infty}c_{s}^{i}(x-x_{i})^{s}

Prueba

Casos especiales

Si todos son iguales a uno, entonces el polinomio de interpolación de Hermite es el mismo que el polinomio de interpolación de Lagrange . ${\ estilo de visualización \ n_ {i}}$
Si el número de nodos de interpolación es uno, entonces el polinomio de interpolación de Hermite es el mismo que el polinomio de Taylor .
Si el número de nodos de interpolación es dos y cada uno tiene el valor de la función y el valor de su derivada, tenemos el problema de construir un spline cúbico .

Interpolación con múltiples nodos

Prueba

Casos especiales

Estimando el resto de la interpolación

Véase también

Literatura