Elemento nilpotente

Un elemento nilpotente es un elemento del anillo , algún poder del cual se desvanece.

La consideración de elementos nilpotentes a menudo resulta útil en geometría algebraica , ya que permiten obtener análogos puramente algebraicos de una serie de conceptos típicos del análisis y la geometría diferencial ( deformaciones infinitamente pequeñas , etc.).

El término fue introducido por Benjamin Pierce en su trabajo sobre la clasificación de álgebras [1] .

Definición

Se dice que un elemento x de un anillo R es nilpotente si existe un entero positivo n tal que [2] . ${\ estilo de visualización x ^ {n} = 0}$

El valor mínimo para el cual esta igualdad es verdadera se llama índice de nilpotencia del elemento . $norte$ $a$

Ejemplos

Esta definición se puede aplicar a las matrices cuadradas en particular . Matriz

A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}

es nilpotente porque . Más detalles en el artículo Matriz nilpotente .

{\ estilo de visualización A^{3}=0}

En el anillo cociente Z /9 Z , la clase de equivalencia de 3 es nilpotente, ya que 3 2 es congruente con 0 módulo 9.
Suponga que dos elementos a y b en el anillo R satisfacen la condición . Entonces el elemento es nilpotente porque . Ejemplo para matrices (como a y b ): $ab=0$ ${\ estilo de visualización c = ba}$ $c^{2}=(ba)^{2}=b(ab)a=0$

A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix)),\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix)).

aquí _

{\ estilo de visualización AB = 0, BA = B}

El anillo de cuaterniones divididos contiene un cono de elementos nilpotentes.

Por definición, cualquier elemento del semigrupo nil- es nilpotente.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente puede ser invertible (excepto el anillo trivial {0}, que tiene el único elemento 0 = 1 ). Todos los elementos nilpotentes distintos de cero son divisores de cero .

Una matriz A de n por n con elementos del campo es nilpotente si y solo si su polinomio característico es . $t^{n}$

Si un elemento x es nilpotente, entonces es un elemento invertible , ya que se sigue de: ${\ estilo de visualización 1-x}$ ${\ estilo de visualización x ^ {n} = 0}$ $(1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1.$

Más generalmente, la suma de un elemento invertible y un elemento nilpotente es un elemento invertible si conmutan.

Anillos conmutativos

Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo forman un ideal , que es una consecuencia del binomio de Newton . Este ideal es el nilradical del anillo. Cualquier elemento nilpotente en un anillo conmutativo está contenido en cualquier ideal primo de este anillo, ya que . Así, está contenido en la intersección de todos los ideales primos. $R$ ${\ matemáticas {N}}$ $X$ $\mathfrak{p}$ $x^{n}=0\in {\mathfrak {p))$ ${\ matemáticas {N}}$

Si el elemento no es nilpotente, podemos localizarlo con potencias de : para obtener un anillo distinto de cero . Los ideales primos de un anillo localizado corresponden exactamente a estos ideales primos del anillo c [3] . Dado que cualquier anillo conmutativo distinto de cero tiene un ideal maximal que es primo, cualquier elemento no nilpotente no está contenido en algún ideal primo. Entonces es exactamente la intersección de todos los ideales primos [4] . $X$ $X$ $S=\{1,x,x^{2},...\}$ $S^{-1}R$ $\mathfrak{p}$ $R$ ${\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset$ $X$ ${\ matemáticas {N}}$

Una característica similar al radical de Jacobson y la aniquilación de módulos primos está disponible para el radical nil : los elementos nilpotentes del anillo R son exactamente aquellos que aniquilan todos los dominios de integridad en el anillo R. Esto se sigue del hecho de que el radical cero es la intersección de todos los ideales primos.

Elementos nilpotentes del Álgebra de la Mentira

Sea Lie Álgebra . Entonces, un elemento se llama nilpotente si está en y es una transformación nilpotente. Véase también descomposición de Jordan en álgebra de Lie . $\mathfrak{g}$ $\mathfrak{g}$ $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ $\operatorname {anuncio} x$

Nilpotencia en física

El operando Q que satisface la condición es nilpotente. Los números de Grassmann , que permiten la representación de campos fermiónicos en términos de integrales de trayectoria , son nilpotentes porque su cuadrado se anula. La carga BRST es un ejemplo importante en física . ${\ estilo de visualización Q ^ {2} = 0}$

Los operadores lineales forman un álgebra asociativa y luego un anillo, este es un caso especial de la definición original [5] [6] . De manera más general, teniendo en cuenta las definiciones anteriores, un operador Q es nilpotente si existe tal que (una función nula). Entonces , un mapeo lineal es nilpotente si y solo si tiene una matriz nilpotente en alguna base. Otro ejemplo es la derivada exterior (de nuevo con ). Ambos ejemplos están conectados a través de la supersimetría y la teoría de Morse [7] , como lo muestra Edward Witten en un aclamado artículo [8] . $n\en \mathbb {N}$ $Q^{n}=0$ $n=2$

El campo electromagnético de una onda plana sin fuentes es nilpotente si se expresa en términos del álgebra del espacio físico [9] . De manera más general, la técnica de microaditividad utiliza infinitesimales nilpotentes y es parte del análisis infinitesimal suave .

Nilpotentes algebraicos

Los números duales bidimensionales contienen un espacio nilpotente. Otras álgebras y números que contienen espacios nilpotentes incluyen cuaterniones divididos (cocuaterniones), octaniones divididos , bicuaterniones y octaniones complejos . $\mathbb {C} \otimes \mathbb {H}$ $\mathbb {C} \otimes \mathbb {O}$

Véase también

elemento idempotente
elemento unipotente
Anillo reducido
Nil-ideal

Notas

↑ Milies, Sehgal, 2002 , pág. 127.
↑ Enciclopedia de Matemáticas, 1977-1985 .
↑ Matsumura, 1970 , pág. 6.
↑ Atiyah, MacDonald, 1994 , pág. 5.
↑ Peirce, 1870 .
↑ Milies, Sehgal, 2002 .
↑ Rogers, 2000 , pág. 3703–3714.
↑ Witten, 1982 , pág. 661–692.
↑ Rowland, 2007 .

Literatura

Enciclopedia Matemática / I. M. Vinogradov. - M. : Enciclopedia soviética, 1977-1985.

César Polcino Milies, Sudarshan R. Sehgal. Una introducción a los anillos de grupo. - Dordrecht, Boston, Londres: Kluwer Academic Publishers, 2002. - ISBN 978-1-4020-0238-0 .
Hideyuki Matsumura. Capítulo 1: Resultados elementales // Álgebra conmutativa. - W. A. Benjamin, 1970. - ISBN 978-0-805-37025-6 .
Atiyah MF, MacDonald IG Capítulo 1: Anillos e ideales // Introducción al álgebra conmutativa. - Westview Press, 1994. - ISBN 978-0-201-40751-8 .
- Atiyah M., McDonald I. Introducción al álgebra conmutativa. - Moscú: Mir, 1972.
Peirce B. Álgebra Asociativa Lineal. — 1870.
A.Rogers. La partícula topológica y la teoría de Morse // Clase. Gravedad Cuántica. - 2000. - Edición. 17 _ -doi : 10.1088 / 0264-9381/17/18/309 .
E. Witten. Supersimetría y teoría de Morse // J.Diff.Geom. - 1982. - Edición. 17 _
Rowlands P. De cero a infinito: los fundamentos de la física. - Londres: World Scientific, 2007. - ISBN 978-981-270-914-1 .