Discriminante de campo numérico algebraico

El discriminante de un campo numérico algebraico es un número invariante que, en términos generales, mide el tamaño ( anillo de números enteros ) de un campo numérico algebraico. Más concretamente, es proporcional al cuadrado del volumen del área fundamental del anillo de los números enteros, y determina qué números primos se ramifican .

El discriminante es el invariante más importante de un campo numérico y aparece en algunas fórmulas analíticas importantes como la ecuación funcional de la función zeta de Dedekind de un campo K y la fórmula para el número de clases de un campo K . El antiguo teorema de Hermite establece que solo hay un número finito de campos numéricos con un discriminante acotado, pero la definición de este número sigue siendo un problema abierto y es objeto de investigación [1] .

El discriminante del campo K puede llamarse discriminante absoluto del campo K para distinguirlo del discriminante relativo de la extensión K / L de los campos numéricos. Este último es un ideal en el anillo de los enteros del campo L y, como el discriminante absoluto, muestra qué primos se ramifican en K / L . Es una generalización del discriminante absoluto, permitiendo que el campo L sea mayor que . De hecho, cuando , el discriminante relativo es el ideal principal del anillo generado por el discriminante absoluto del campo K . $\matemáticas {Q}$ $L=\mathbb {Q}$ $K/\mathbb {Q}$ $\matemáticas {Z}$

Definición

Sea K un campo numérico algebraico y sea O K su anillo de enteros . Sea una base integral del anillo OK (es decir, una base como módulo Z ), y sea el conjunto de incrustaciones del campo K en números complejos (es decir , homomorfismos inyectivos de anillos ). El discriminante del campo K es igual al cuadrado del determinante n x n de la matriz B , cuyos elementos ( i , j ) son iguales a . en forma simbólica, ${\displaystyle b_{1},\puntos,b_{n))$ ${\ estilo de visualización \ {\ sigma _ {1}, \ puntos, \ sigma _ {n}} \}}$ $K\rightarrow \mathbb {C}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {i} (b_ {j})}$

\Delta _{K}=\det \left({\begin{matriz}{cccc}\sigma _{1}(b_{1})&\sigma _{1}(b_{2})& \cdots &\sigma _{1}(b_{n})\\\sigma _{2}(b_{1})&\ddots &&\vdots \\\vdots &&\ddots &\vdots \\\sigma _ {n}(b_{1})&\cdots &\cdots &\sigma _{n}(b_{n})\end{matriz}}\right)^{2}.

De manera equivalente, se puede usar la traza de K a . En particular, definimos la forma de traza como una matriz cuyos elementos ( i , j ) son iguales a . Esta matriz es igual a B T B , por lo que el discriminante del campo K es el determinante de esta matriz. $\matemáticas {Q}$ $\mathbf {Tr} _{K/\mathbb {Q} }(b_{i}b_{j})$

Ejemplos

Campos numéricos cuadráticos : sea d un número sin cuadrados , entonces el discriminante del campo es [2] $K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d)))$

\Delta _{K}=\left\{{\begin{array}{ll}d&d\equiv 1{\pmod {4}}\\4d&d\equiv 2,3{\pmod {4}}. \\\end{matriz}}\right.

Un número entero que aparece como el discriminante de un cuerpo numérico cuadrático se llama el discriminante fundamental [3] .

Campos circulares : sea n > 2 un número entero, sea la raíz n-ésima primitiva de la unidad y sea el campo circular n-ésimo . El discriminante de campo viene dado por la fórmula [2] [4] $\zeta _{n}$ $K_{n}=\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ $K_n$

{\displaystyle \Delta _{K_{n}}=(-1)^{\varphi (n)/2}{\frac {n^{\varphi (n)}}{\displaystyle \prod _{p| n}p^{\varphi (n)/(p-1)))))

donde es la función de Euler , y el producto en el denominador pasa por todos los primos p que dividen a n .

\varfi (n)

Bases de potencia: En el caso de que el anillo de enteros tenga una base de entero de potencia , es decir, se puede escribir como , el discriminante del campo K es igual al discriminante del polinomio mínimo en . Para ver esto, podemos elegir que la base entera del anillo sea . Entonces la matriz en la definición es la matriz de Vandermonde asociada con , cuyo cuadrado determinante es $O_{K}=\mathbb {Z} [\alpha ]$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización O_ {K}}$ ${\displaystyle b_{1}=1,b_{2}=\alpha ,b_{3}=\alpha ^{2},\dots ,b_{n}=\alpha ^{n-1))$ ${\ estilo de visualización \ alfa _ {i} = \ sigma _ {i} (\ alfa)}$

{\displaystyle \prod_{1\leq i<j\leq n}(\alpha_{i}-\alpha_{j})^{2))

que es exactamente lo mismo que la definición del discriminante de un polinomio mínimo.

Sea el campo numérico obtenido al sumar la raíz del polinomio . Este ejemplo es el ejemplo original de Dedekind de un campo numérico cuyo anillo de enteros no tiene una base de potencia. La base entera se da como , y el discriminante del campo K es −503 [5] [6] . $K=\mathbb {Q} (\alpha )$ $\alfa$ ${\ estilo de visualización x^{3}-x^{2}-2x-8}$ ${\ estilo de visualización \ {1, \ alfa, \ alfa (\ alfa +1)/2\))$
Discriminantes duplicados: el discriminante de un campo cuadrático lo define de manera única, pero esto no es cierto en general para campos numéricos de mayor grado . Por ejemplo, hay dos campos cúbicos no isomorfos con discriminante 3969. Se obtienen sumando la raíz del polinomio x 3 − 21 x + 28 o x 3 − 21 x − 35 respectivamente [7] .

Principales resultados

Teorema de Brill [8] : El signo del discriminante es , donde r 2 es el número de puntos complejos del campo K [9] . ${\ estilo de visualización (-1) ^ {r_ {2}}}$
Un número primo p se ramifica en K si y solo si p divide [10] . ${\ estilo de visualización \ Delta _ {K}}$
Teorema de Stickelberger [11] :

{\ estilo de visualización \ Delta _ {K} \ equivalente 0}

{\ estilo de visualización 1 {\ pmod {4)).}

Límite de Minkowski [12] : Sean el grado de la extensión, yr2denoteel número de lugares complejos del campoK, entonces $K/\mathbb {Q}$

|\Delta _{K}|^{1/2}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!)}}\left({\frac {\pi }{4}}\ derecha )^{r_{2}}\geqslant {\frac {n^{n}}{n!}}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{n/2}.

Teorema de Minkowski [13] : Si K no es igual a entonces (esto se sigue directamente del límite de Minkowski). $\matemáticas {Q}$ ${\ estilo de visualización | \ Delta _ {K} |> 1}$
Teorema de Hermite-Minkowski [14] : SeaNun entero positivo. Solo hay un número finito (hasta el isomorfismo) de campos numéricos algebraicosKcon. Nuevamente, esto se sigue del límite de Minkowski, junto con el teorema de Hermite (que solo hay un número finito de campos algebraicos con un discriminante prescrito). ${\ estilo de visualización | \ Delta _ {K} | <N}$

Historia

La definición del discriminante de un campo numérico algebraico general K fue dada por Dedekind en 1871 [15] . En ese momento, ya sabía sobre la conexión entre el discriminante y la ramificación [16] .

El teorema de Hermite precedió a la definición general del discriminante y su demostración fue publicada por Charles Hermite en 1857 [17] . En 1877 Alexander von Brill determinó el signo del determinante [18] . Leopold Kronecker formuló el teorema de Minkowski en 1882 [19] , aunque Hermann Minkowski dio su demostración recién en 1891 [20] . En el mismo año, Minkowski publicó su límite sobre el determinante [21] . A finales del siglo XIX Stickelberger, Ludwig obtuvo el teorema del resto discriminante módulo cuatro [22] [23] .

Discriminante relativo

El discriminante definido anteriormente a veces se denomina discriminante absoluto del campo K para distinguirlo del discriminante relativo de la extensión del campo numérico K / L , que es un ideal en O L. El discriminante relativo se define de la misma forma que el discriminante absoluto, pero se debe tener en cuenta que el ideal en O L puede no ser principal y que O L puede no ser la base de O K . Sea el conjunto de incrustaciones de K en , que son unidades en L . Si es alguna base de un campo K sobre L , sea ) el cuadrado del determinante de una matriz n x n cuyos elementos ( i , j ) son iguales a . Entonces el discriminante relativo de la extensión K / L es el ideal generado por , donde pasa por todas las bases enteras de la extensión K / L . (es decir, sobre bases con la propiedad de que para todo i .) Alternativamente, el discriminante relativo de la extensión K / L es igual a la norma ajuste K / L [24] . Cuando , el discriminante relativo es el ideal principal del anillo generado por el discriminante absoluto . En la torre de campos K / L / F , los discriminantes relativos están relacionados por ${\ estilo de visualización \ Delta _ {K} / L}$ ${\ estilo de visualización \ {\ sigma _ {1}, \ puntos, \ sigma _ {n}} \}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C}}$ ${\displaystyle b_{1},\puntos,b_{n))$ ${\ estilo de visualización d (b_ {1}, \ puntos, b_ {n))$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {i} (b_ {j})}$ ${\ estilo de visualización d (b_ {1}, \ puntos, b_ {n})}$ ${\ estilo de visualización \ {b_ {1}, \ puntos, b_ {n} \}}$ $b_{i}\en O_{K}$ $L=\mathbb {Q}$ $\Delta _{K/\mathbb {Q} }$ $\matemáticas {Z}$ ${\ estilo de visualización \ Delta _ {K}}$

\Delta_{K/F}={\mathcal {N}}_{L/F}\left({\Delta_{K/L}}\right)\Delta_{L/F}^ {[K:L]}

donde denota la norma relativa [25] [26] . $\mathcal{N}$

Ramificación

El discriminante relativo determina la ramificación de la extensión de campo K / L . Un ideal principal p de un campo L se ramifica en K si y sólo si divide al discriminante relativo . Una extensión se ramifica si y sólo si el discriminante es la unidad ideal [24] . El límite de Minkowski anterior muestra que no hay extensiones de campo no ramificadas no triviales . Los campos mayores que , pueden tener extensiones no ramificadas. Por ejemplo, para cualquier campo con un número de clases superior a uno, su campo de clase Hilbert es una extensión no trivial no ramificada. ${\ estilo de visualización \ Delta _ {K/L}}$ $\matemáticas {Q}$ $\matemáticas {Q}$

Raíz discriminante

El discriminante raíz de un campo numérico K de grado n , a menudo denominado rd K , se define como la raíz n-ésima del valor absoluto del discriminante (absoluto) del campo K [27] . La relación entre los discriminantes relativos en la torre de campo muestra que el discriminante raíz no cambia en una expansión no ramificada. La existencia de una torre de campos de clase da límites para la raíz discriminante: la existencia de una torre infinita de campos de clase sobre , donde m = 3 5 7 11 19, muestra que hay un campo infinitamente diferente con raíz discriminante 2 √ m ≈ 296.276 [28] . Si r y 2 s son iguales al número de incrustaciones reales y complejas, entonces , establecemos y . Denotar por el ínfimo rd K para campos K con . Tenemos (para suficientemente grande) [28] $\mathbb {Q} ({\sqrt {-m)))$ ${\ estilo de visualización n = r + 2s}$ ${\ estilo de visualización \ rho = r / n}$ ${\ estilo de visualización \ sigma = 2 s/n}$ ${\ estilo de visualización \ alfa (\ rho, \ sigma)}$ $(r',2s')=({\rho }n,{\sigma }n)$

{\ estilo de visualización \ alfa (\ rho, \ sigma) \ geqslant 60,8 ^ {\ rho} 22,3 ^ {\ sigma})

y asumiendo la validez de la hipótesis de Riemann generalizada

{\ estilo de visualización \ alfa (\ rho, \ sigma) \ geqslant 215,3 ^ {\ rho} 44,7 ^ {\ sigma}.}

Así tenemos . Martinet demostró eso y [28] [29] . Voight [27] demostró que para campos puramente reales el discriminante raíz > 14 con 1229 excepciones. ${\ estilo de visualización \ alfa (0,1) <296,276}$ ${\ estilo de visualización \ alfa (0,1) <93}$ ${\ estilo de visualización \ alfa (1,0) <1059}$

Relación con otras cantidades

Cuando está incrustado en el volumen de la región fundamental del anillo, O K es igual (a veces se usa otra medida y el volumen es igual a , donde r 2 es el número de lugares complejos del campo K ). $K\otimes_{\mathbf {Q} }\mathbf {R}$ ${\sqrt {|\Delta _{K}|}}$ $2^{-r_{2}}{\sqrt {|\Delta _{K}|}}$
Dado que el discriminante aparece en esta fórmula de volumen, también aparece en la ecuación funcional para la función zeta de Dedekind del campo K , y por lo tanto también en la fórmula analítica del número de clase y en el teorema de Brouwer-Siegel .
El discriminante relativo de la extensión K / L es igual al conductor Artin la representación regular del grupo de Galois de la extensión K / L . Esto da una conexión entre los conductores de Artin y los caracteres del grupo de Galois de la extensión K / L , que se llama fórmula conductor-discriminante [30] .

Notas

↑ Cohen, Díaz y Díaz, Olivier, 2002 .
↑ 1 2 Manin, Panchishkin, 2007 , pág. 130.
↑ Cohen, 1993 , pág. Definición 5.1.2.
↑ Washington, 1997 , pág. Proposición 2.7.
↑ Dedekind, 1878 , pág. 30–31.
↑ Narkiewicz, 2004 , pág. 64.
↑ Cohen, 1993 , pág. Teorema 6.4.6.
↑ Koch, 1997 , pág. once.
↑ Washington, 1997 , pág. Lema 2.2.
↑ Neukirch, 1999 , pág. Corolario III.2.12.
↑ Neukirch, 1999 , pág. Ejercicio I.2.7.
↑ Neukirch, 1999 , pág. Proposición III.2.14.
↑ Neukirch, 1999 , pág. Teorema III.2.17.
↑ Neukirch, 1999 , pág. Teorema III.2.16.
↑ 1 2 Apéndice X de Dedekind en la segunda edición de Vorlesungen über Zahlentheorie de Dirichlet (alemán: Lectures on Number Theory) ( Dedekind 1871 )
↑ Bourbaki, 1994 .
↑ Hermite, 1857 .
↑ Brill, 1877 .
↑ Kronecker, 1882 .
↑ Minkowski, 1891a .
↑ Minkowski, 1891b .
↑ Stickelberger, 1897 .
↑ Todos los hechos de este párrafo se pueden encontrar en el libro de Narkiewicz ( Narkiewicz 2004 , pp. 59, 81)
↑ 1 2 Neukirch, 1999 , pág. §III.2.
↑ Neukirch, 1999 , pág. Corolario III.2.10.
↑ Fröhlich y Taylor 1993 , pág. Proposición III.2.15.
↑ 12 Voight , 2008 .
↑ 1 2 3 Koch, 1997 , pág. 181–182.
↑ Martinet, 1978 , pág. 65–73.
↑ Serre, 1967 , pág. Sección 4.4.

Literatura

Yu. I. Manin , A. A. Panchishkin. Introducción a la teoría de números moderna. - Segundo. - 2007. - T. 49. - P. 130. - (Enciclopedia de las Ciencias Matemáticas). — ISBN 978-3-540-20364-3 .
Jacques Martinet. Tours de corps de classes et estimaciones de discriminants (francés) // Inventiones Mathematicae . - 1978. - vol. 44 . -doi : 10.1007/ bf01389902 . — .
Alejandro von Brill. Ueber die Discriminante // Mathematische Annalen. - 1877. - T. 12 , núm. 1 . — págs. 87–89 . -doi : 10.1007/ BF01442468 .
Richard Dedekind . Vorlesungen über Zahlentheorie von PG Lejeune Dirichlet . - 2. - Vieweg, 1871.
Richard Dedekind . Über den Zusammenhang zwischen der Theorie der Ideale und der Theorie der höheren Congruenzen // Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. - 1878. - T. 23 , núm. 1 .
Carlos Hermita . Extrait d'une lettre de MC Hermite a M. Borchardt sur le name limité d'irrationalités auxquelles se réduisent les racines des équations à coeficientes entiers complexes d'un degré et d'un discriminant donnés // Crelle's Journal . - 1857. - T. 53 . — S. 182–192 . -doi : 10.1515/ crll.1857.53.182.
Leopoldo Kronecker . Grundzüge einer arithmetischen Theorie der algebraischen Grössen // Crelle's Journal . - 1882. - T. 92 . — Pág. 1–122 .
Hermann Minkowski . Ueber die positiven quadratischen Formen und über kettenbruchähnliche Algorithmen // Crelle's Journal. — 1891a. - T. 107 . — S. 278–297 .
Hermann Minkowski . Théorèmes d'arithmétiques // Comptes rendus de l'Académie des sciences . — 1891b. - T. 112 . — S. 209–212 .
Ludwig Stickelberger. Über eine neue Eigenschaft der Diskriminanten algebraischer Zahlkörper // Actas del Primer Congreso Internacional de Matemáticos, Zúrich. - 1897. - S. 182-193.
Nicolás Bourbaki. Elementos de la historia de las matemáticas / Traducido por Meldrum, John. - Berlín: Springer-Verlag, 1994. - ISBN 978-3-540-64767-6 .
- Bourbaki N. Ensayos sobre la historia de las matemáticas. - M. : Editorial de literatura extranjera, 1963.
Enrique Cohen. Un curso de teoría de números algebraicos computacionales. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 1993. - V. 138. - (Textos de Grado en Matemáticas). - ISBN 978-3-540-55640-4 .
Henri Cohen, Francisco Díaz y Díaz, Michel Olivier. A Survey of Discriminant Counting // Algorithmic Number Theory, Proceedings, 5th International Syposium, ANTS-V, University of Sydney, julio de 2002 / Claus Fieker, David R. Kohel. - Berlín: Springer-Verlag, 2002. - T. 2369. - S. 80–94. — (Apuntes de clase en informática). — ISBN 978-3-540-43863-2 . -doi : 10.1007/ 3-540-45455-1_7 . (enlace no disponible)
Albrecht Fröhlich, Martin J. Taylor. Teoría algebraica de números. - Cambridge University Press , 1993. - V. 27. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). — ISBN 978-0-521-43834-6 .
Helmut Koch. Teoría algebraica de números. - Springer-Verlag , 1997. - T. 62. - (Encycl. Math. Sci.). — ISBN 3-540-63003-1 .
Władysław Narkiewicz. Teoría elemental y analítica de los números algebraicos. - 3. - Berlín: Springer-Verlag, 2004. - (Monografías de Springer en Matemáticas). - ISBN 978-3-540-21902-6 .
Jürgen Neukirch. Teoría algebraica de números. - Berlín: Springer-Verlag, 1999. - T. 322. - (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften). — ISBN 978-3-540-65399-8 .
Jean Pierre Serre . Teoría del campo de clase local // Teoría algebraica de números, Actas de una conferencia de instrucción en la Universidad de Sussex, Brighton, 1965 / JWS Cassels, Albrecht Fröhlich. - Londres: Academic Press, 1967. - ISBN 0-12-163251-2 .
John Voight Voight. Enumeración de campos de números totalmente reales de raíz discriminante acotada // Teoría de números algorítmicos. Actas, 8º Simposio Internacional, ANTS-VIII, Banff, Canadá, mayo de 2008 / Alfred J. van der Poorten, Andreas Stein. - Berlín: Springer-Verlag, 2008. - T. 5011. - S. 268-281. — (Apuntes de clase en informática). — ISBN 978-3-540-79455-4 . -doi : 10.1007 / 978-3-540-79456-1_18 .
Lorenzo Washington. Introducción a los Campos Ciclotómicos. — 2do. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, 1997. - V. 83. - (Textos de Grado en Matemáticas). — ISBN 978-0-387-94762-4 .

Lectura para leer más

James S. Milne. Teoría de números algebraicos . — 1998.