Método cuántico de Montecarlo

Los métodos Quantum Monte Carlo  son una gran familia de métodos para estudiar sistemas cuánticos complejos . Una de las tareas principales es proporcionar una solución fiable (o una aproximación suficientemente precisa) del problema cuántico de muchos cuerpos . Varias versiones de este método tienen una característica común: utilizan el método de Monte Carlo para calcular integrales multidimensionales que surgen en varias formulaciones del problema de muchos cuerpos. Los métodos cuánticos de Monte Carlo permiten describir los efectos complejos de muchas partículas, encriptados en la función de onda , yendo más allá de la teoría del campo medio y en algunos casos ofreciendo soluciones exactas al problema de muchos cuerpos. En particular, existe un algoritmo escalable numéricamente exacto y polinomial para el estudio exacto de las propiedades estáticas de un sistema de bosones sin frustración geométrica . Para los fermiones , no se conocen tales algoritmos, pero hay algoritmos separados que dan muy buenas aproximaciones de sus propiedades estáticas y algoritmos cuánticos Monte Carlo separados que son numéricamente precisos pero exponencialmente escalables.

Introducción

En principio, cualquier sistema físico se describe mediante la ecuación de Schrödinger para muchas partículas, siempre que las partículas no se muevan demasiado rápido (es decir, que su velocidad sea pequeña en comparación con la velocidad de la luz y se puedan despreciar los efectos relativistas ). . Este requisito se cumple para una amplia gama de problemas electrónicos en la física de la materia condensada, en el condensado de Bose-Einstein y en superfluidos como el helio líquido. La capacidad de resolver las ecuaciones de Schrödinger para un sistema determinado permite predecir su comportamiento y tiene aplicaciones importantes en muchos campos de la ciencia, desde la ciencia de los materiales hasta los sistemas biológicos complejos. La dificultad es que resolver la ecuación de Schrödinger requiere el conocimiento de la función de onda de muchas partículas en un espacio de Hilbert multidimensional , cuyo tamaño, por regla general, crece exponencialmente con un aumento en el número de partículas.

Una solución para una gran cantidad de partículas es básicamente imposible en una cantidad de tiempo razonable, incluso para la computación paralela moderna . Tradicionalmente, se utilizan aproximaciones de funciones antisimétricas de muchas partículas compuestas por orbitales moleculares de una sola partícula [1] , lo que reduce el problema de resolver la ecuación de Schrödinger a una forma con la que se puede trabajar. Este tipo de formulación tiene varias desventajas. Están limitados a correlaciones cuánticas, como el método Hartree-Fock , o convergen muy lentamente, como en el caso de las interacciones configuracionales en química cuántica .

Los métodos Quantum Monte Carlo abren el camino al estudio directo de problemas de muchas partículas y funciones de onda de muchas partículas sin estas limitaciones. Los métodos cuánticos de Monte Carlo más avanzados proporcionan soluciones exactas al problema de muchas partículas de un sistema de bosones sin frustraciones, simultáneamente con una descripción aproximada, pero generalmente correcta, de sistemas de fermiones con interacción. La mayoría de los métodos tienen como objetivo encontrar la función de onda del estado fundamental del sistema, con la excepción de los métodos de Monte Carlo para integrales de trayectoria y el método de Monte Carlo para temperaturas finitas, que se utilizan para calcular la matriz de densidad. Además de los problemas estacionarios, también es posible resolver la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, aunque solo de forma aproximada, limitando la forma funcional de la función de onda dependiente del tiempo. Para ello, se ha desarrollado un método de Monte Carlo variacional dependiente del tiempo. Desde el punto de vista de la teoría de la probabilidad, el cálculo de los valores propios principales y las funciones de onda del estado fundamental correspondientes se basa en la solución numérica del problema de las integrales a lo largo de las trayectorias de Feynman-Kak [2] [3] . La base matemática del modelo de absorción de partículas de Feynman-Kak, el método de secuencia de Monte Carlo y las interpretaciones del campo medio se establecen en [4] [5] [6] [7] [8] .

Hay varios métodos cuánticos de Monte Carlo, cada uno de los cuales usa Monte Carlo para resolver el problema de muchos cuerpos de diferentes maneras.

Métodos

Temperatura cero (solo estado fundamental)

• Método variacional de Monte Carlo : no es un mal punto de partida; Se utiliza para resolver una amplia gama de diferentes problemas cuánticos.
• Método de difusión de Monte Carlo : el método de alta precisión más popular para un sistema de electrones (es decir, para cálculos químicos), porque converge de manera relativamente eficiente al valor exacto de la energía del estado fundamental. También se utiliza para reproducir el comportamiento cuántico de los átomos y similares.
• Monte Carlo reptacional : un método moderno de cálculo a temperatura cero, asociado con integrales de trayectoria, el alcance es el mismo que el método Monte Carlo de difusión, pero las suposiciones son diferentes, por lo que las ventajas y desventajas son diferentes. Reptación es un término de la física de polímeros que describe el movimiento serpenteante de largas cadenas.
• Método de Monte Carlo cuántico gaussiano
• Encontrar el estado fundamental a través de integrales de trayectoria : se utiliza principalmente para un sistema de bosones; para aquellos en los que las cantidades físicas observables se pueden calcular exactamente, es decir, con un error arbitrariamente pequeño.

Temperaturas distintas de cero (termodinámica)

• Método de Monte Carlo del campo auxiliar : principalmente aplicado a problemas definidos en una red, aunque hay nuevos trabajos que aplican este método a electrones en sistemas químicos.
• Método Monte Carlo Cuántico de Tiempo Continuo .
• Método de Monte Carlo cuántico determinante o método de Monte Carlo cuántico de Hirsch-Fay
• Método Híbrido Cuántico Monte Carlo
• Método Quantum Monte Carlo a través de integrales de trayectoria : una técnica de cálculo de temperatura distinta de cero que se utiliza principalmente para sistemas donde los efectos de la temperatura son de gran importancia, en particular para el helio superfluido.
• Algoritmo estocástico para la función de Green [9] : un algoritmo diseñado para bosones modela un hamiltoniano definido por red de cualquier complejidad, siempre que no tenga un problema de signo.
• Método Quantum Monte Carlo de líneas de mundo.

Dinámica en tiempo real (sistemas cuánticos cerrados)

• Método de Monte Carlo cuántico variacional dependiente del tiempo : una extensión del método de Monte Carlo variacional a la dinámica de los estados cuánticos puros.

Proyectos y productos de software

• ALFA
• ALPES Archivado desde el original el 18 de mayo de 2016.
• CASINO Archivado el 8 de junio de 2015 en Wayback Machine .
• CHAMP Archivado el 6 de agosto de 2017 en Wayback Machine .
• Monte Python Archivado el 25 de octubre de 2012 en Wayback Machine .
• PIMC++
• pi-qmc Archivado el 14 de julio de 2012 en Wayback Machine .
• QMcBeaver Archivado el 11 de julio de 2017 en Wayback Machine .
• QmcMol
• QMCPACK Archivado el 28 de noviembre de 2019 en Wayback Machine .
• Qmáx
• Qwalk Archivado el 4 de febrero de 2020 en Wayback Machine .
• TurboRVB Archivado el 18 de abril de 2017 en Wayback Machine .
• Zori

Enlaces

1. ↑ Forma funcional de la función de onda. Archivado el 18 de julio de 2009 en Wayback Machine .
2. ↑ Caffarel, Michel; Claverie, Pierre. Desarrollo de un método de Monte Carlo cuántico de difusión pura utilizando una fórmula de Feynman-Kac generalizada completa. I. Formalismo  (inglés)  // Revista de física química  : revista. - 1988. - vol. 88 , núm. 2 . - P. 1088-1099 . — ISSN 0021-9606 . -doi : 10.1063/ 1.454227 . - . Archivado desde el original el 12 de junio de 2015. Copia archivada (enlace no disponible) . Consultado el 18 de enero de 2018. Archivado desde el original el 12 de junio de 2015. (indefinido) 
3. ↑ Korzeniowski, A.; Freír, JL; Orr, DE; Fazleev, NG Feynman-Kac cálculo integral de trayectoria de las energías del estado fundamental de los átomos  (inglés)  // Physical Review Letters  : revista. - 1992. - 10 de agosto ( vol. 69 , n. 6 ). - Pág. 893-896 . -doi : 10.1103 / PhysRevLett.69.893 . - .
4. ↑ LMUE | Aproximaciones de partículas de exponentes de Lyapunov conectados a operadores de Schrödinger y semigrupos de Feynman-Kac - P. Del Moral, L. Miclo. . eudml.org . Consultado el 11 de junio de 2015. Archivado desde el original el 4 de febrero de 2017. (indefinido)
5. ↑ Del Moral, Pierre; Doucet, Arnaud. Movimientos de partículas en un medio absorbente con obstáculos duros y blandos  //  Análisis estocástico y aplicaciones: revista. - 2004. - 1 de enero ( vol. 22 , no. 5 ). - P. 1175-1207 . — ISSN 0736-2994 . -doi : 10.1081 / SAP-200026444 .
6. ↑ Del Moral, Pierre. Simulación de campo medio para la integración  de Monte Carlo . - Chapman & Hall/CRC Press, 2013. - Pág. 626. . - Monográficos de Estadística y Probabilidad Aplicada.
7. ↑ Del Moral, Pierre. Fórmula de Feynman-Kac.  Aproximaciones genealógicas y de partículas interactuantes . - Springer, 2004. - Pág. 575. . - "Serie: Probabilidad y Aplicaciones".
8. ↑ Del Moral, Pierre; Miclo, Laurent. Sistemas de ramificación e interacción de partículas Aproximaciones de las fórmulas de Feynman-Kac con aplicaciones al filtrado no lineal  . - 2000. - vol. 1729. - Pág. 1-145. -doi : 10.1007/ bfb0103798 .
9. ↑ Rousseau, VG Algoritmo de función estocástica de Green  (inglés)  // Physical Review E  : revista. - 2008. - 20 de mayo ( vol. 77 ). — Pág. 056705 . -doi : 10.1103/ physreve.77.056705 . - . - arXiv : 0711.3839 .  (enlace no disponible)