Cinemática de un cuerpo rígido

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Cinemática de un cuerpo rígido (del otro griego κίνημα - movimiento) - una sección de cinemática que estudia el movimiento de un cuerpo absolutamente rígido (un sistema de puntos materiales con distancias constantes), sin entrar en las causas que lo provocan. Debido a la relatividad del movimiento, es obligatorio indicar el marco de referencia con respecto al cual se describe el movimiento.

Descripción del movimiento

La característica de un cuerpo rígido nos permite introducir un sistema de coordenadas ortonormal asociado a él , centrado en un punto (un punto arbitrario asociado a este cuerpo). Entonces en el sistema ortonormal absoluto , la coordenada de un punto arbitrario de un cuerpo rígido se puede expresar: $({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$ $S$ $Oxyz,\,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$

${\vec {r}}(t)={\vec {r}}_{S}(t)+\xi {\vec {e}}_{\xi }(t)+\eta { \vec {e}}_{\eta }(t)+\zeta {\vec {e}}_{\zeta }(t)$ , y desde el cuerpo es absolutamente rígido: , pero . ${\dot {\xi }}={\dot {\eta }}={\dot {\zeta }}=0$ ${\dot {\vec {e))}_{i}\neq 0\,(i=\xi,\eta,\zeta)$

deja _ En particular, la transformación se puede especificar utilizando ángulos de Euler . ${\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\ end{pmatrix}}={\hat {A}}{\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e }}_{z}\end{matrix}}$

Como las bases son ortonormales, es ortogonal a , por lo que . ${\ sombrero {A}}$ ${\sombrero {A}}{\sombrero {A}}^{T}=E$

Con la velocidad de un punto arbitrario del cuerpo entonces:

{\vec {v}}(t)={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi,\eta,\zeta){\begin{pmatrix}{\dot {\ vec {e}}}_{\xi }\\{\dot {\vec {e}}}_{\eta }\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }\end{ pmatrix}}={\vec {v}}_{S}(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\begin{pmatrix}{\vec { e}}_{x}\\{\vec {e}}_{y}\\{\vec {e}}_{z}\end{pmatrix}}={\vec {v}}_{S }(t)+(\xi ,\eta ,\zeta ){\dot {\hat {A}}}{\hat {A}}^{T}{\begin{pmatrix}{\vec {e}} _{\xi}\\{\vec {e}}_{\eta}\\{\vec {e}}_{\zeta}\end{pmatrix}}

Resultados de diferenciación , lo que significa antisimetría , que se puede escribir ${\sombrero {A}}{\sombrero {A}}^{T}=E$ ${\punto {\sombrero {A}}}{\sombrero {A}}^{T}=-{\sombrero {A}}{\punto {\sombrero {A}}}^{T}$ ${\punto {\sombrero {A}}}{\sombrero {A}}^{T}={\sombrero {\Omega }}$

{\hat {\Omega }}={\begin{pmatrix}0&\omega_{\zeta}&-\omega_{\eta}\\-\omega_{\zeta }&0&\omega_{ \xi }\\\omega _{\eta }&-\omega _{\xi }&0\end{pmatriz}}

La notación está motivada por la introducción (del vector de velocidad angular ). Después: ${\vec {\omega }}=\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\xi }+\omega_{\eta }{\vec {e}}_{\eta }+\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\zeta }$

{\begin{casos}{\dot {\vec {e))}_{\xi }=\omega _{\zeta }{\vec {e))_{\eta }-\omega_{ \eta }{\vec {e}}_{\zeta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\xi }],\\{\dot {\vec { e))_{\eta }=-\omega _{\zeta }{\vec {e}}_{\xi }+\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\zeta } = [{\vec {\omega }}\times {\vec {e}}_{\eta }],\\{\dot {\vec {e}}}_{\zeta }=\omega _{\ eta }{\vec {e}}_{\xi }-\omega _{\xi }{\vec {e}}_{\eta }=[{\vec {\omega }}\times {\vec { e }}_{\zeta }];\end{casos}}

Las expresiones resultantes se denominan fórmulas de Poisson.

Fórmula de Euler

La fórmula de Euler fija la relación entre las velocidades de varios puntos de un cuerpo rígido: $A,B$

{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]

Prueba

${\begin{casos}{\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{S}+(\xi _{A},\eta _{A},\zeta _{A})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{ \zeta }\end{pmatrix)),\\{\vec {v))_{B}={\vec {v))_{S}+(\xi _{B},\eta _{B} ,\zeta _{B})\Omega {\begin{pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e} }_{\zeta }\end{pmatrix));\\\end{casos))\;\Rightarrow \;{\vec {v}}_{B}-{\vec {v}}_{A} =(\xi _{B}-\xi _{A},\eta _{B}-\eta _{A},\zeta _{B}-\zeta _{A})\Omega {\begin{ pmatrix}{\vec {e}}_{\xi }\\{\vec {e}}_{\eta }\\{\vec {e}}_{\zeta }\end{pmatrix}}\; \Leftrightarrow \;{\vec {v}}_{B}={\vec {v}}_{A}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

Si , entonces . ${\vec {v}}_{A}={\vec {v}}_{B}$ ${\vec {\omega }}\parallel {\overrightarrow {AB}}$
${\vec {\omega ))$ es invariante con respecto a la elección de un sistema de coordenadas en movimiento.
El vector de velocidad angular está relacionado con el campo de velocidad de los puntos del cuerpo . ${\vec {\omega }}={\frac {1}{2}}\nabla \times {\vec {v}}$

Fórmula de los rivales

La fórmula de Rivals relaciona las aceleraciones de varios puntos de un cuerpo rígido. $A,B$

Para (vector de aceleración angular ), dado que , la diferenciación de la fórmula de Euler conduce a: ${\vec {\varepsilon}}={\dot {\vec {\omega}}}$ ${\dot {\overrightarrow {AB}}}=[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]$

{\vec {a}}_{B}={\vec {a}}_{A}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {AB}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {AB}}]{\big ]}

El último término de la fórmula de Rivals determina la fuerte aceleración .

Movimiento compuesto

Para casos de descripción difícil del movimiento de un cuerpo rígido con respecto a un CO fijo , se introducen fórmulas de movimiento complejo (es decir, que describen el movimiento con respecto a un CO en movimiento).

Para sistema de referencia absoluta y en movimiento . $Oxyz,({\vec {e}}_{x},{\vec {e}}_{y},{\vec {e}}_{z})$ $P\xi \eta \zeta \,({\vec {e}}_{\xi },{\vec {e}}_{\eta },{\vec {e}}_{\zeta })$

{\vec {r}}_{S/O}={\vec {r}}_{S/P}+{\vec {r}}_{P/O}

El radio vector a un punto en FR absoluto es igual a la suma del radio vector relativo y el portátil $S$

Fórmula de adición de velocidad

Derivando con respecto al tiempo la fórmula para el radio vector conduce a la fórmula para sumar velocidades

{\vec {v}}_{S/O}={\vec {v}}_{P/O}+{\vec {v}}_{S/P}+[{\vec { \omega }}\times {\overrightarrow {PD}}]

, donde es la velocidad angular de rotación del CO móvil.

{\vec {\omega ))

${\vec{v}}_{S/O}$ es la velocidad absoluta del punto , $S$
${\vec {v}}_{S/P}={\dot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\dot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\dot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - velocidad relativa,
El término se denomina velocidad portátil, que se asocia con un cambio en la posición del CO móvil. ${\vec {v}}_{P/O}+[{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]$

Fórmula de adición de aceleración

La diferenciación repetida da

{\vec {a}}_{S/O}={\vec {a}}_{P/O}+{\vec {a}}_{S/P}+[{\vec { \varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }}\times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{ \big ]}+2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]

, donde es la aceleración angular del CO en movimiento.

{\vec\varepsilon}

${\vec{a}}_{S/O}$ es la aceleración absoluta,
${\vec {a}}_{P/O}={\ddot {\xi }}{\vec {e}}_{\xi }+{\ddot {\eta }}{\vec { e}}_{\eta }+{\ddot {\zeta }}{\vec {e}}_{\zeta }$ - aceleración relativa,
${\vec {a}}_{S/P}+[{\vec {\varepsilon }}\times {\overrightarrow {PS}}]+{\big [}{\vec {\omega }} \times [{\vec {\omega }}\times {\overrightarrow {PS}}]{\big ]}$ - aceleración portátil,
$2[{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{S/P}]$ es la aceleración de Coriolis.

Adición de velocidades angulares

Escribir la fórmula de Euler en un CO en movimiento que gira con velocidad angular (el propio cuerpo gira aquí con ) conduce a: ${\vec {\omega }}_{P/O}$ ${\vec {\omega }}_{S/P}$

{\vec {v}}_{B/O}={\vec {v}}_{A/O}+[{\vec {\omega }}_{S/P}\times {\ overrightarrow {AB}}]+[{\vec {\omega}}_{P/O}\times {\overrightarrow {AB}}]

, lo cual es cierto para una elección arbitraria de puntos , de donde

A,B

{\vec {\omega }}_{S/O}={\vec {\omega }}_{P/O}+{\vec {\omega }}_{S/P}

De lo contrario, la velocidad angular absoluta es igual a la suma de la relativa y la traslacional.

Análisis cualitativo de los posibles movimientos

Movimiento helicoidal instantáneo , caracterizado por lo que se encuentra (eje helicoidal instantáneo), tal que para cualquier punto . En cada momento del tiempo, cualquier movimiento puede representarse como instantáneo-helicoidal. $l\parallel {\vec {\omega ))$ $S\in l:{\vec {v}}_{S}\parallel l$
El movimiento de traslación instantáneo se caracteriza por el hecho de que , en este caso, las velocidades de todos los puntos del cuerpo son las mismas (en un momento dado). ${\vec {\omega}}=0$
Movimiento de rotación instantáneo , un caso especial de tornillo instantáneo, es decir existe tal que todos los puntos en él son fijos. La línea recta en este caso es el eje instantáneo de rotación. $yo$ $yo$
El movimiento plano-paralelo se lleva a cabo si cada punto del cuerpo se mueve paralelo a un plano fijo (let ), entonces . Por analogía con el eje helicoidal instantáneo, para el movimiento plano-paralelo, puede elegir el centro instantáneo de velocidades, un punto fijo instantáneo . La posición cambia tanto en el sistema de coordenadas fijo como en el móvil (conectado con el cuerpo). Para el lugar geométrico de los puntos del centro instantáneo de velocidades en un marco fijo, se utiliza el término centroide fijo, mientras que en un marco móvil, respectivamente, un centroide móvil. $oxi$ ${\ Displaystyle {\ vec {\ omega}} \ perp Oxy}$ $C$ $C$
Rotación alrededor de un punto fijo. De acuerdo con la fórmula de Euler, si es fijo, entonces es fijo y (eje de rotación instantáneo). La ubicación geométrica de los ejes de rotación se denomina axoides fijos y móviles (dependiendo del CO considerado) $O$ $l=O\omega$

Fórmulas cinemáticas de Euler

Si la transición a un CO móvil se realiza utilizando ángulos de Euler , las siguientes fórmulas para los componentes de la velocidad angular son válidas:

\omega _{\xi }={\dot {\varphi }}\sin \theta \sin \psi +{\dot {\theta }}\cos \psi

\omega _{\eta }={\dot {\varphi }}\sin \theta \cos \psi -{\dot {\theta }}\sin \psi

\omega_{\zeta}={\dot {\psi}}+{\dot {\varphi}}\cos \theta

${\ estilo de visualización \ psi}$ es el ángulo de precesión, es el ángulo de nutación, es el ángulo de rotación propia. ${\ estilo de visualización \ theta}$ ${\ estilo de visualización \ varphi}$

Véase también

Literatura

Mecánica teórica / Bolotin S.V., Karapetyan A.V., Kugushev E.I., Treschev D.V. - M., 2010.
Curso general de física T.I. Mecánica/Sivukhin D.V. - M., 1979. - $ 7, p. 45-47