Kink (matemáticas)

Una torcedura es una solución a las ecuaciones de campo en algunas teorías de campo dimensional que se interpola entre dos vacíos a medida que la coordenada espacial cambia de a . Un kink es el solitón topológico más simple . ${\ estilo de visualización 1+1}$ $-\infty$ $+\infty$

Kink en el modelo de un campo escalar real

Consideremos [1] la teoría de un campo escalar real en un espacio de dimensión con la acción ${\ estilo de visualización 1+1}$

S=\int d^{2}x\left[{\frac {1}{2}}\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }-V(\phi )\right ],

donde es el potencial de campo, , y $\fi$ ${\ estilo de visualización \ mu = 0,1}$

V(\phi )=-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {\lambda }{4}}\phi ^{4}+ {\frac {\mu ^{4}}{4\lambda }}={\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{2}-v^{2})^{2},~~ v={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}.

La acción es invariante bajo una transformación discreta ; esta simetría se rompe espontáneamente, ya que los vacíos clásicos son iguales . ${\ estilo de visualización \ phi =-\ phi}$ ${\ estilo de visualización \ phi ^ {vac} = \ pm v}$

A partir del principio de mínima acción se obtiene la ecuación de campo

\phi _{,\mu }^{~~\mu }+{\frac {\V parcial(\phi )}{\parcial \phi ))=0.

Buscaremos una solución estática, es decir, independiente del tiempo de las ecuaciones de campo. En este caso, la ecuación de campo se reduce a

\phi ''-{\frac {\parcial V(\phi )}{\parcial \phi }}=0,

donde el número primo denota la derivada con respecto a la coordenada espacial. La ecuación resultante tiene la siguiente solución:

\phi =v\tanh(\pm {\sqrt {\frac {\lambda }{2}}}v(x-x_{0}))={\frac {\mu }{\sqrt {\ lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}x)},

donde es la constante de integración. Esta solución es la torcedura estática más simple que se interpola entre vacíos y cuando la coordenada espacial cambia de a . Una solución firmada se denomina antitorsión . $x_{0}$ $-v$ ${\ estilo de visualización + v}$ $-\infty$ $+\infty$ $-$

Propiedades de la solución

El tamaño de la torcedura es del orden de magnitud , es decir, del orden de la longitud de onda Compton de la excitación elemental. De hecho, la densidad de energía de la torcedura ${\displaystyle r_{k}=\mu^{-1))$

\epsilon (x)={\frac {1}{2}}\phi '^{2}+V(\phi )={\frac {\lambda }{2}}v^{4}{ \frac {1}{\cosh ^{4}({\frac {\mu }{\sqrt {2))}(x-x_{0)))))

difiere significativamente de cero sólo en la región . ${\displaystyle |x-x_{0}|\lesssim r_{k))$

La energía estática de la torcedura es

\int _{-\infty}^{\infty}\epsilon (x)dx={\frac {2}{3}}mv^{2},

donde es la masa de la excitación elemental. $m={\sqrt {2}}\mu$

La solución resultante no es invariante bajo traslaciones espaciales y transformaciones de Lorentz. Sin embargo, estas transformaciones traducen las soluciones de las ecuaciones de campo en otras soluciones. Aplicando traslaciones y la transformación de Lorentz, obtenemos la siguiente familia de soluciones no estáticas:

\phi ={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda ))}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2))}{\frac {(x- x_{0})-ut}{\sqrt {1-u^{2)))))},

donde es la velocidad de la torcedura en movimiento. $tu$

Kink en el modelo de un campo escalar complejo

Consideremos [1] la teoría de un campo escalar complejo en un espacio dimensional con el Lagrangiano ${\ estilo de visualización 1+1}$

\Lambda =\phi _{,\mu }{\bar {\phi }}^{,\mu }+\mu ^{2}\phi {\bar {\phi }}-{\frac { \lambda {2}}(\fi {\bar {\fi}})^{2}.

El principio de mínima acción conduce a las siguientes ecuaciones de campo:

\phi _{,\mu }^{~~\mu }=\mu ^{2}\phi -\lambda \phi ^{2}{\bar {\phi )),

{\bar {\phi }}_{,\mu }^{,\mu }=\mu ^{2}{\bar {\phi }}-\lambda {\bar {\phi }}^ {2}\fi.

Las ecuaciones resultantes tienen una solución de torsión de la teoría de un campo escalar real

\phi ={\bar {\phi }}={\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\tanh {(\pm {\frac {\mu }{\sqrt {2} }}X)}.

Kink en la ecuación del seno-Gordon

Consideremos [1] la teoría de un campo escalar real en un espacio de dimensión con el Lagrangiano ${\ estilo de visualización 1+1}$

\Lambda =\phi _{,\mu }\phi ^{,\mu }+m^{2}v^{2}[\cos {\frac {\phi }{v}}-1] .

El principio de mínima acción conduce a la ecuación

\phi _{,\mu }^{~~\mu }+m^{2}v\sin {\frac {\phi }{v))=0,

que se reduce por sustitución a la ecuación seno-Gordon $x\rightarrow mx,~~t\rightarrow mt,~~\phi \rightarrow {\frac {\phi }{v))$

\phi _{tt}-\phi _{xx}+\sin \phi =0,

que tiene las siguientes soluciones particulares [2] , que representan torceduras que se mueven con velocidad , interpolando entre vacíos y al cambiar de a : $v$ $\phi _{0}=2\pi k,~~k\in \mathbb {Z}$ ${\ estilo de visualización \ phi _ {0} + 2 \ pi}$ $X$ $-\infty$ $+\infty$

\phi (x,t)=\phi _{0}+4\arctan \left\{\exp \left[\pm {\frac {x+vt}{\sqrt {v^{2}- 1}}}+\delta \derecho]\derecho\},

donde es una constante arbitraria. El signo corresponde a la torcedura, el signo a la antitorsión. $\delta$ $+$ $-$

Notas

↑ 1 2 3 * Rubakov V. A. Campos de calibre clásico. Teorías bosónicas. - M. : KomKniga, 2005. - S. 133-143. — 296 págs.
↑ * Polianina A.D., Zaitsev V.F. Manual de ecuaciones no lineales de física matemática. - M. : FIZMATLIT, 2002. - S. 144. - 432 p.

Literatura

T. I. Belova , A. E. Kudryavtsev, Solitons y sus interacciones en la teoría clásica de campos
VA Gani, AE Kudryavtsev, MA Lizunova, Interacciones Kink en el modelo φ 6 dimensional (1+1), Phys. Rvdo. D 89, 125009 (2014) ; [https://web.archive.org/web/20161220140059/https://arxiv.org/abs/1402.5903 Archivado el 20 de diciembre de 2016 en Wayback Machine arXiv: 1402.5903 [hep-th]].
VA Gani, V. Lensky, MA Lizunova, Espectros de excitación Kink en el modelo φ 8 (1+1) dimensional, JHEP 08 (2015) 147 ; [https://web.archive.org/web/20161220135634/https://arxiv.org/abs/1506.02313 Archivado el 20 de diciembre de 2016 en Wayback Machine arXiv:1506.02313 [hep-th]].